线性代数

前 言

“线性代数”是高等院校理、工、经、管、农、医类各专业的基础课程，也是工程应用数学的重要基础，主要研究线性方程组及线性空间等相关理论，同时对能够进行线性运算的量及其相互之间的联系与规律进行描述。随着计算技术的大力发展，线性代数在信息、机械、控制、土木、化工、经济等行业领域应用越来越广，许多实际问题可以通过离散化的数值算法得到定量解决，并利用程序进行计算，其中很多内容都牵涉到矩阵的相关理论，可以说线性代数是从事科学研究和工程设计等相关工作人员必备的重要数学基础。

根据现代数学的观点，代数就是在所考虑的对象之间规定一些运算后得到的数学结构。线性代数涉及的运算主要是称为加法和数乘的线性运算，这些线性运算须满足一定的性质进而构成线性空间。现实中大量出现的非线性问题常常需要转换成线性问题进行处理，如在一定条件下，曲线可用直线近似，曲面可用平面近似，函数增量可用函数的微分近似，所以说线性代数是研究线性科学中的“线性问题”。线性问题的讨论往往涉及矩阵和向量，它们是重要的代数工具。在一定的意义上，它们以及其上的一些运算本身就构成线性空间，因此线性代数的研究对象与高等代数、近世代数的研究对象略有不同，它主要研究线性空间及其上的线性变换。

线性代数的内容较抽象，概念和定理较多，前后联系紧密、环环相扣、相互渗透，但它作为一种数学建模方法，是工程技术人员和科研工作者必须掌握的。尤其在优化问题讨论、算法分析与设计、计算机图形图像处理、数字信号处理等实际应用中更加突出，使得高等院校各专业都对线性代数的内容从深度和广度上提出了更高的要求。通过线性代数的学习，可以进一步培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步的学习和研究提供必要的理论知识、解题方法和技巧，夯实理论基础。本书编写内容突出基本概念、基本理论和基本方法，并且各章例题利用Maple进行了实现，符合国家对线性代数课程改革的要求和基础课程“金课行动”的改革要求，适度增加课程高阶性、创新性和挑战度。

全书共分6章：行列式、矩阵、向量与线性方程组、相似矩阵、二次型、线性空间与线性变换，以矩阵为工具阐述线性代数的基本概念、基本理论和方法，使内容联系紧密，具有较强的逻辑性。由于线性代数概念多、结论多、内容较抽象，本书尽量从简单实例入手，力求通俗易懂、由浅入深，对重点内容提供较多的典型例题，以帮助学生更好地理解、掌握和运用线性代数的知识。每章都有精选习题，有些选自历年研究生入学考试线性代数题目，书后配有习题答案。

在本书编写过程中，编者向校内外同行广泛征求了意见，感谢同行提出的宝贵意见。

由于编者水平有限，书中疏漏之处在所难免，恳请专家和读者批评指正。

编 者

2021年4月于西安

前言

第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.1.1 二阶和三阶行列式 1
1.1.2 排列 4
1.1.3 n阶行列式的定义 5
习题1.1 7
1.2 行列式的基本性质 8
习题1.2 15
1.3 行列式的计算 16
1.3.1 余子式与代数余子式 16
1.3.2 行列式按行（列）展开定理 16
习题1.3 21
1.4 Cramer法则 23
习题1.4 28
第2章 矩阵 29
2.1 矩阵的定义与基本运算 29
2.1.1 矩阵的定义 29
2.1.2 几种特殊矩阵 30
2.1.3 矩阵的加法与减法 31
2.1.4 数乘矩阵 31
2.1.5 矩阵的乘法 33
2.1.6 方阵的幂 35
2.1.7 矩阵的转置 36
习题2.1 37
2.2 可逆矩阵 38
2.2.1 可逆矩阵的概念 38
2.2.2 逆矩阵的计算 39
2.2.3 可逆矩阵的运算性质 42
习题2.2 45
2.3 分块矩阵 46
习题2.3 49
2.4 矩阵的初等变换 50
2.4.1 矩阵的初等变换 50
2.4.2 初等矩阵 51
习题2.4 58
2.5 矩阵的秩 59
2.5.1 矩阵的秩的定义 60
2.5.2 矩阵的秩的计算 62
习题2.5 66
第3章 向量与线性方程组 68
3.1 线性方程组解的判定 68
3.1.1 非齐次线性方程组解的判定 68
3.1.2 齐次线性方程组解的判定 71
习题3.1 73
3.2 向量组的线性相关性 74
3.2.1 向量及其线性运算 74
3.2.2 线性组合与线性表示 76
3.2.3 线性相关性与线性无关性 78
习题3.2 82
3.3 向量组的秩 83
3.3.1 极大线性无关组 83
3.3.2 矩阵的秩与向量组的秩的关系 85
习题3.3 87
3.4 线性方程组解的结构 88
3.4.1 齐次线性方程组解的结构 88
3.4.2 非齐次线性方程组解的结构 92
习题3.4 96
3.5 向量空间 97
习题3.5 98
第4章 相似矩阵 99
4.1 向量的内积与正交向量组 99
4.1.1 向量的内积 99
4.1.2 标准正交基与Schmidt正交化 100
4.1.3 正交矩阵 102
习题4.1 104
4.2 方阵的特征值与特征向量 105
4.2.1 特征值与特征向量的定义 105
4.2.2 特征值与特征向量的求法 105
4.2.3 特征值与特征向量的性质 109
习题4.2 111
4.3 矩阵的相似与对角化 112
4.3.1 相似矩阵 112
4.3.2 矩阵可对角化条件 113
习题4.3 118
4.4 实对称矩阵的相似对角化 119
4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 119
4.4.2 实对称矩阵相似对角化 120
习题4.4 124
第5章 二次型 125
5.1 二次型及其标准形 125
5.1.1 二次型及其矩阵表示 125
5.1.2 化二次型为标准形 126
5.1.3 化二次型为规范形 132
习题5.1 135
5.2 正定二次型与正定矩阵 136
5.2.1 基本概念 136
5.2.2 正定二次型的判定 137
习题5.2 140
第6章 线性空间与线性变换 142
6.1 线性空间及其性质 142
6.1.1 线性空间的定义 142
6.1.2 线性空间的性质 144
习题6.1 144
6.2 线性空间的基与坐标 145
6.2.1 基与坐标的定义 145
6.2.2 基变换与坐标变换 146
习题6.2 151
6.3 线性变换及其运算 152
6.3.1 线性变换的定义 152
6.3.2 线性变换的运算 154
6.3.3 线性变换的矩阵 156
习题6.3 161
习题参考答案 162
参考文献 177
附录 Maple简介 178

1. 零基础玩转国产大模型DeepSeek [徐永冰 张帅 编著]
2. 网络工程师5天修炼（适配第6版考纲） [主编　朱小平 施游]
3. 信息系统项目管理师考试32小时通关（适用第4版考纲） [薛大龙]
4. 信息系统管理工程师考试32小时通关（适配第2版考纲） [薛大龙　刘伟]
5. 土木工程材料检测实训 [洪晓江 达则晓丽 钱波]
6. 科技信息检索与论文写作实用教程 [李振华]
7. 传统山水画论解读与实践 [陈钠 著]
8. Python数据库编程 [主编 殷树友 邢 翀]
9. 计算机基础实训指导 [主编 袁春萍 朱妮]
10. 嵌入式人工智能技术应用（数字教材） [主编 胡娜 杨国勇 晏廷荣]
11. Vienna整流器技术 [桂存兵 著]
12. 变频器与伺服应用 [陈刚 叶云飞]
13. 物联网工程设计与实践 [汤琳 李敏]
14. 炉边夜话——深入浅出话AI [汪建　著]
15. 电商运营与管理 [钟肖英 陈潇]
16. Java面向对象程序设计 [主编 姜春磊 陈虹洁]
17. 信息技术基础（Windows 10+WPS Office）（微课版） [主编　石利平　田辉平　谢盛嘉]
18. 人工智能应用 [主编　陈　萍　刘培培　陈孟军]
19. 大学生职业发展与就业指导 [主编　刘志坚]
20. 高级办公应用项目教程 [主编 屈晶 赵成丽]
21. 微信小程序开发项目实战（微课版） [主编 黄龙泉 郭峰 朱倩]
22. 企业档案工作实战宝典百问百答 [华俊 卢秀英 邵甜甜 著]
23. 计算机网络原理及应用 [主编 唐继勇 叶坤 孙梦娜]
24. 大学生创业基础 [主编 王丽莉 王 杨]
25. 船舶辅机 [主编 王连海 于洋 姜淑翠]
26. 大学生就业指导 [主编 王丽莉 董宴廷]
27. 系统架构设计师章节习题与考点特训 [主编 薛大龙 邹月平]
28. 高校学生工作探索与实践 [郭亮 著]
29. 大学生情商管理 [方雄 著]
30. 2023年长沙市会展业发展报告 [主编 周栋良]