线性代数（第二版）

前 言

线性代数是高等院校理工、经管、医学、农林类各专业的重要公共基础课程。随着信息技术的发展，它在信息、机械、控制、土木、化工、经济等领域的应用日益广泛，成为科研与工程设计不可或缺的数学基础。线性代数主要研究线性方程组及线性空间等相关理论，同时对能够进行线性运算的量及其相互之间的联系与规律进行研究。随着计算技术的发展，线性代数在机械、控制、土木、化工、经济、医药等领域的应用越来越广，许多实际问题可以通过离散化的数值算法得到定量解决并利用程序进行计算，其中很多内容都涉及矩阵的相关理论，可以说线性代数是从事科学研究和工程技术等相关人员必备的重要数学基础。

从现代数学视角看，线性代数研究的核心是线性空间及其上的线性变换，通过加法和数乘两种基本运算建立起向量、矩阵等重要工具，使许多实际问题得以转化为可计算的线性模型。现实中大量出现的非线性问题常常需要转换成线性问题进行处理，如在一定条件下，曲线可用直线近似，曲面可用平面近似，函数增量可用函数的微分近似，所以说线性代数研究的是科学中的“线性问题”。线性问题的讨论往往涉及矩阵和向量，它们是重要的代数工具。从一定意义上来说，它们以及其上的一些运算本身就构成了线性空间。因此，线性代数的研究对象与高等代数、近世代数的研究对象略有不同，它主要研究线性空间及其上的线性变换。

线性代数的内容较抽象，概念和定理较多，前后联系紧密、环环相扣、相互渗透。虽然线性代数的内容具有一定的抽象性，但是它作为一种数学建模方法，是工程技术人员和科研工作者必须掌握的，尤其在优化问题讨论、算法分析与设计、计算机图形图像处理、数字信号处理等实际应用中更加突出，使得高等院校各专业对线性代数的内容从深度和广度上都提出了更高的要求。通过对线性代数的学习，可以进一步培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习和研究提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法，奠定坚实的理论基础。本书在内容安排上突出“三基”（基本概念、基本理论、基本方法），融入Maple计算实践，所有例题均提供Maple实现代码，强化矩阵计算能力培养。全书共分6章：行列式、矩阵、向量与线性方程组、相似矩阵、二次型、线性空间与线性变换。在本书编写过程中，王震、王君、韦娜娜、于蓉蓉、陈瑶、薛妮妮参与了相关工作，在此向他们致以衷心的感谢。

本书符合线性代数课程改革和“金课行动”要求，适度提升课程的高阶性、创新性和挑战度。由于编者水平有限，书中难免存在不足，恳请专家和读者批评指正。

编 者

2025年9月于西安

前言

第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.1.1 二阶和三阶行列式 1
1.1.2 排列 3
1.1.3 n阶行列式的定义 5
习题1.1 7
1.2 行列式的基本性质 8
习题1.2 14
1.3 行列式的计算 15
1.3.1 余子式与代数余子式 15
1.3.2 行列式按行（列）展开定理 16
1.3.3 关于代数余子式的重要性质 17
习题1.3 20
1.4 Cramer法则 22
习题1.4 27
数学家与数学家精神 28
第2章 矩阵 30
2.1 矩阵的定义与基本运算 30
2.1.1 矩阵的概念 30
2.1.2 几种特殊矩阵 31
2.1.3 矩阵的加法与减法 32
2.1.4 数乘矩阵 33
2.1.5 矩阵的乘法 34
2.1.6 方阵的幂 36
2.1.7 矩阵的转置 37
习题2.1 38
2.2 可逆矩阵 39
2.2.1 可逆矩阵的概念 39
2.2.2 逆矩阵的计算 40
2.2.3 可逆矩阵的运算性质 43
2.2.4 方阵的行列式 46
习题2.2 46
2.3 分块矩阵 47
习题2.3 51
2.4 矩阵的初等变换 52
2.4.1 基本概念 52
2.4.2 初等矩阵 54
习题2.4 61
2.5 矩阵的秩 62
2.5.1 矩阵的秩的定义 62
2.5.2 矩阵的秩的计算 64
习题2.5 69
数学家与数学家精神 70
第3章 向量与线性方程组 72
3.1 线性方程组解的判定 72
3.1.1 非齐次线性方程组解的判定 72
3.1.2 齐次线性方程组解的判定 75
习题3.1 78
3.2 向量组的线性相关性 79
3.2.1 向量及其线性运算 79
3.2.2 线性组合与线性表示 81
3.2.3 线性相关性与线性无关性 84
习题3.2 88
3.3 向量组的秩 90
3.3.1 极大线性无关组 90
3.3.2 矩阵的秩与向量组的秩的关系 91
习题3.3 93
3.4 线性方程组解的结构 94
3.4.1 齐次线性方程组解的结构 94
3.4.2 非齐次线性方程组解的结构 98
习题3.4 102
3.5 向量空间 103
习题3.5 105
数学家与数学家精神 105
第4章 相似矩阵 107
4.1 向量的内积与正交向量组 107
4.1.1 向量的内积 107
4.1.2 标准正交基与Schmidt正交化 108
4.1.3 正交矩阵 110
习题4.1 112
4.2 方阵的特征值与特征向量 113
4.2.1 特征值与特征向量的定义 113
4.2.2 特征值与特征向量的求法 113
4.2.3 特征值与特征向量的性质 117
习题4.2 120
4.3 矩阵的相似与对角化 120
4.3.1 相似矩阵 120
4.3.2 矩阵可对角化条件 122
习题4.3 126
4.4 实对称矩阵的相似对角化 127
4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 127
4.4.2 实对称矩阵相似对角化 128
习题4.4 132
数学家与数学家精神 133
第5章 二次型 136
5.1 二次型及其标准形 136
5.1.1 二次型及其矩阵表示 136
5.1.2 化二次型为标准形 137
5.1.3 化二次型为规范形 144
习题5.1 146
5.2 正定二次型与正定矩阵 148
5.2.1 基本概念 148
5.2.2 正定二次型的判定 149
习题5.2 152
数学家与数学精神 153
第6章 线性空间与线性变换 155
6.1 线性空间及其性质 155
6.1.1 线性空间的定义 155
6.1.2 线性空间的性质 157
习题6.1 157
6.2 线性空间的基与坐标 158
6.2.1 基与坐标的定义 158
6.2.2 基变换与坐标变换 159
习题6.2 164
6.3 线性变换及其运算 165
6.3.1 线性变换的定义 165
6.3.2 线性变换的运算 168
6.3.3 线性变换的矩阵 169
习题6.3 175
数学家与数学家精神 176
附录1　习题参考答案 179
附录2 Maple简介 193
参考文献 197

1. 微控制器系统设计（STM32版） [主编 杨凌]
2. 机械原理与机械设计作业集（第二版） [主编 田亚平 李爱姣]
3. 高剑父的现代国画研究 [陈水兴　著]
4. 用英语介绍中国江河湖海 [庞彦杰　李静　赵娟　刘桂杰　编]
5. 大学生创新创业基础（第2版） [主编 姜国权 方邡]
6. 丰碑——河北水利电力学院校史（1950—2024） [河北水利电力学院校史编写委员会]
7. 信息系统监理师真题及模考卷精析（适配第2版考纲） [主编 薛大龙]
8. 高等职业教育深度教学研究 [何凤梅 陈逸怀 著]
9. JavaScript前端框架应用实践教程（基于Vue 3.x） [主编 李礼 吴海天 刘颖]
10. 人工智能理论与应用研究 [钟建坤　著]
11. 中国民间美术山水语言体系研究 [陈钠 著]
12. 园林规划设计 [主编 刘金萍]
13. Linux系统管理（openEuler版） [主编 许兴鹍 黄君羡]
14. Web前端开发从学到用完美实践 [阮晓龙 冯顺磊 编著]
15. 用英语讲中国故事（全视频 彩色版）上、下册 [主编　谢亮亮　汪洋]
16. 新时代大学生美育教育 [穆林 刘苍劲 彭圣芳]
17. 电子商务英语 [丁文毅 严慧]
18. 智能可穿戴项目化教程 [曾文波 陈赵云]
19. 视觉设计解析与实战教程 [姜春磊　杨晓]
20. 电子产品制图与制版案例教程 [邹莉莉　苏文斌　贺小艳]
21. 设计新维度：CMF元素与创新产品设计 [彭小鹏]
22. 园林树木识别与应用 [主编 张玉泉]
23. 文本信息处理与应用 [主编　何黎松　姚香秀]
24. 工业机器人编程及应用（第二版） [主编 向艳芳 胡月霞]
25. C语言程序设计（第二版） [主编 刘祖珉 赵仕波]
26. 数据分析与应用 [主编　孙伟　王兰芹]
27. Linux操作系统配置与管理项目化教程（第二版） [主编 白玉羚 刘金明 闫 淼]
28. Ansys SpaceClaim直接建模与仿真指南 [蔡宜时 编著]
29. 基于大数据的智慧农业管理平台关键技术研究与实践 [周永福 著]
30. 健美运动 [戴显岩]