复变函数与积分变换（第二版）

依据教育部制定的《高职高专教育基础课程教学基本要求》和《高职高专教育专业人才培养目标及规格》的要求，严格依据教育部提出的高职高专教育＂以应用为目的，以必需、够用为度＂的原则，精心选择教材内容。

从实际应用和学生学习后续专业课的需要（实例）出发，根据数学思想和数学概念与工程实际结合的高职高专教学的特点，淡化了深奥的数学理论。

每章都配有本章学习目标、本章小结、习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

本书在第一版基础上，根据多年的教学改革实践和高校教师提出的一些建议进行修订。修订工作主要包括以下方面的内容：

1．仔细校对并订正了第一版中的印刷错误。

2．对第一版教材中的某些疏漏予以补充完善。

3．调整了原书中的部分习题，使之与书中内容搭配更加合理。

负责本书修订编写工作的有张翠莲、牛莉、曾大有等。本书仍由张翠莲主编，由牛莉、曾大有担任副主编，各章编写分工如下：复变函数第1章、第2章由牛莉编写，第3章、第4章由曾大有编写，第5章由程广涛编写，积分变换第1章、第2章及书后附录由张翠莲编写。参加本书修订的还有何春江、翟秀娜、张钦礼、邓凤茹、赵艳、郭照庄、霍东升、戴江涛、张静、聂铭玮、刘园园等。

在修订过程中，我们认真考虑了读者的建议意见，在此对提出意见建议的读者表示衷心感谢。新版中存在的问题，欢迎广大专家、同行和读者继续给予批评指正。

编 者

2014年12月

第一篇 复变函数
第1章 复数与复变函数 3
本章学习目标 3
1.1 复数 3
1.1.1 复数的概念 3
1.1.2 复数的代数运算 4
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角 5
1.1.4 复数的幂与根 9
1.2 区域 11
1.2.1 复平面上的点集与区域 11
1.2.2 单连通域与多（复）连通域 13
1.3 复变函数 14
1.3.1 复变函数的概念 14
1.3.2 映射的概念 15
1.3.3 反函数与复合函数 16
1.4 复变函数的极限与连续性 17
1.4.1 复变函数的极限 17
1.4.2 复变函数的连续 18
本章小结 20
习题1 21
自测题1 23
第2章 解析函数 26
本章学习目标 26
2.1 复变函数的导数与微分 26
2.1.1 复变函数的导数 26
2.1.2 可导与连续的关系 28
2.1.3 复变函数的微分 28
2.1.4 导数运算法则 29
2.2 解析函数的概念 30
2.2.1 解析函数的定义及其性质 30
2.2.2 函数解析的充要条件 31
2.3 初等函数及其解析性 34
2.3.1 指数函数 34
2.3.2 对数函数 35
2.3.3 幂函数 36
2.3.4 三角函数 37
2.3.5 反三角函数 38
2.3.6* 双曲函数与反双曲函数 39
本章小结 40
习题2 41
自测题2 43
第3章 复变函数的积分 45
本章学习目标 45
3.1 复变函数积分的概念 45
3.1.1 积分的定义 45
3.1.2 积分存在的条件及其计算方法 46
3.1.3 积分的性质 47
3.2 积分基本定理 49
3.2.1 积分与路径无关问题 49
3.2.2 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 50
3.2.3 几个等价定理 51
3.3 基本定理的推广—复合闭路定理 52
3.4 柯西积分公式 54
3.5 解析函数的高阶导数 56
本章小结 57
习题3 58
自测题3 59
第4章 级数 61
本章学习目标 61
4.1 幂级数 61
4.1.1 幂级数的概念 61
4.1.2 泰勒级数 63
4.2 罗伦级数 64
本章小结 67
习题4 68
自测题4 69
第5章 留数 70
本章学习目标 70
5.1 孤立奇点 70
5.1.1 孤立奇点的概念及分类 70
5.1.2 函数的零点与极点的关系 71
5.2 留数 72
5.2.1 留数的概念 72
5.2.2 留数定理 73
5.2.3* 在无穷远点的留数 77
5.2.4* 留数在定积分计算上的应用 78
本章小结 80
习题5 81
自测题5 82
第二篇 积分变换
第6章 傅里叶变换 84
本章学习目标 84
6.1 傅里叶积分 84
6.1.1 主值意义下的广义积分 84
6.1.2 傅氏积分存在定理 86
6.2 傅里叶变换与频谱 86
6.2.1 傅里叶变换的概念 86
6.2.2 傅氏变换的物理意义—频谱 88
6.3 函数及其傅里叶变换 90
6.3.1 函数的定义 91
6.3.2 函数的性质 93
6.3.3 函数的傅里叶变换 94
6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 95
6.4 傅里叶变换的性质 97
6.4.1 线性性质 97
6.4.2 对称性质 97
6.4.3 相似性性质 98
6.4.4 平移性质 98
6.4.5 微分性质 101
6.4.6 积分性质 102
6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 102
本章小结 103
习题6 105
自测题6 106
第7章 拉普拉斯变换 108
本章学习目标 108
7.1 拉普拉斯变换 108
7.1.1 拉普拉斯变换的概念 108
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 109
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 109
7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换 111
7.2 拉普拉斯变换的基本性质 112
7.2.1 线性性质 112
7.2.2 相似性 112
7.2.3 平移性质 113
7.2.4 微分性质 114
7.2.5 积分性质 116
7.2.6 拉氏变换的卷积与卷积定理 117
7.3 拉普拉斯逆变换 119
7.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 119
7.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 121
7.4 拉普拉斯变换的应用 122
7.4.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 122
7.4.2 线性系统的传递函数 125
本章小结 126
习题7 127
自测题7 131
附录1 复变函数习题与自测题提示与答案 133
附录2 积分变换习题与自测题提示及答案 144
附录3 变换简表 149
参考文献 158

1. Linux系统管理（openEuler版） [主编 许兴鹍 黄君羡]
2. Web前端开发从学到用完美实践 [阮晓龙 冯顺磊 编著]
3. 用英语讲中国故事（全视频 彩色版）上、下册 [主编　谢亮亮　汪洋]
4. 新时代大学生美育教育 [穆林 刘苍劲 彭圣芳]
5. 电子商务英语 [丁文毅 严慧]
6. 智能可穿戴项目化教程 [曾文波 陈赵云]
7. 视觉设计解析与实战教程 [姜春磊　杨晓]
8. 电子产品制图与制版案例教程 [邹莉莉　苏文斌　贺小艳]
9. 设计新维度：CMF元素与创新产品设计 [彭小鹏]
10. 园林树木识别与应用 [主编 张玉泉]
11. 文本信息处理与应用 [主编　何黎松　姚香秀]
12. 工业机器人编程及应用（第二版） [主编 向艳芳 胡月霞]
13. C语言程序设计（第二版） [主编 刘祖珉 赵仕波]
14. 数据分析与应用 [主编　孙伟　王兰芹]
15. Linux操作系统配置与管理项目化教程（第二版） [主编 白玉羚 刘金明 闫 淼]
16. Ansys SpaceClaim直接建模与仿真指南 [蔡宜时 编著]
17. 基于大数据的智慧农业管理平台关键技术研究与实践 [周永福 著]
18. 健美运动 [戴显岩]
19. Python程序开发基础（AI+微课版） [赵艳莉　曾鑫]
20. 大学生心理困境突围之路 [张珏 著]
21. 机器学习基础与实践 [主编　李晓峰　胥文婷　李云波]
22. 大模型应用实战 DeepSeek＋即梦AI＋剪映重塑创作 [丁红　杨彦彦　丁丁　编著]
23. HarmonyOS从入门到精通 [陈赵云　周永福　杨　浪]
24. 用英语发现世界：欧美文化篇 [李小丽　张薇　编著]
25. 大学体育教程 [戴显岩]
26. 新一代信息技术 [李佼辉 任雪冬]
27. 轨道交通类专门用途英语教程 [李德华主编 商晔副主编]
28. 建设工程项目团队知识异质性对团队绩效的影响研究 [胡可]
29. 新时代元阳梯田 云南现代化高原立体灌区 前世 今生 未来 [云南省水利水电勘测设计研究院 ]
30. 网络工程师章节习题与考点特训（适配第6版考纲） [夏杰 编著]