数学建模方法与数学实验

1.介绍建模常用的数学方法，配备了手算和计算机计算相结合的例题

2.强调利用计算机解决数学问题，提供了相应的MATLAB命令和程序

3.在每章的最后一节，结合相关知识介绍了一些完整的数学建模案例

4.为了加深对内容的理解，书中辅以大量可视化图形和表格形式的数据

5.章后附有应用性习题，强调问题解决的实际操作可能性，易于实践

在科学技术迅猛发展的今天，数学的应用范围空前广泛，几乎渗透到自然科学和社会科学的各个领域，而数学建模正是数学走向应用的必经之路，是用数学方法解决实际问题的桥梁。在这样的新形势下，世界各国越来越多的大学（甚至中学）开设了数学建模课程，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和创新精神。

数学建模本质上就是从实际问题中提炼数学模型，并对其求解、检验，再用它解释和回答原问题的整个过程。学生参加数学建模活动，首先就要了解问题的实际背景，这就需要学生具有能迅速查阅大量科学资料，准确获得自己所需信息的能力；同时，还需要学生了解现代数学各门学科知识和各种数学方法，把所掌握的数学工具创造性地应用于具体的实际问题，构建其数学结构，还要能够熟练应用各种数学软件解决实际问题。在数学建模过程中，利用计算机这一现代化工具是非常重要和十分有效的，用它既可以进行数据处理，又可以进行数值计算、绘制图形和仿真模拟。显然，数学建模的教学和实践打破了传统数学教学自成体系、自我封闭的局面，为数学和外部世界的联系打开了一条通道。数学建模课程教学对于开发学生的创新意识，提升学生的数学素养，培养学生创造性地应用数学工具解决实际问题的能力，有着独特的功能。

编写本书旨在为大专院校的师生提供一本理论与实践相结合的数学建模教材。本书的特点是集数学理论知识、数学实验和数学建模为一体，既提供了数学建模过程中常用的数学方法，又与常用的数学软件（主要是MATLAB）相结合，给出了相应的函数命令和程序，通过解决具体的模型案例，使学生能够深入理解数学建模过程中的一些基本数学知识，较熟练地使用MATLAB软件，培养学生运用所学知识建立数学模型，并使用计算机解决实际问题的能力。

参加本书编写的同志，主要由具有多年教授数学建模课程的老师和近年来指导学生参加全国大学生数学建模竞赛并取得名次的教师组成。具体分工如下：刘仁云负责统稿及组织协调工作，并撰写第12章，李东平撰写第8、11、13章，侯国亮撰写第4、10章，战珊珊撰写第3章，罗英语撰写第1章，李东平、罗英语共同撰写第6章，张晓丽撰写第5章，付静撰写第7章，梁四化撰写第9章，刘仁云与战珊珊共同撰写第2章，张晓丽负责组织及文字校对工作，刘仁云、李东平、侯国亮负责全书质量把关。

本书各章均可独立讲授，教师可根据实际情况作出适当选择，不同的学时、不同的层次院校和专业，可以从中选择不同的内容。由于时间仓促及作者水平有限，书中难免有不足及疏漏之处，恳请广大读者批评指正。

编 者

2010年10月

前言

第1章 数学建模简介 1
1.1 数学建模的概念、方法和意义 1
1.1.1 数学模型的概念和分类 1
1.1.2 数学建模的步骤 1
1.1.3 数学建模的特点 2
1.1.4 数学建模的方法 3
1.1.5 学习数学建模的意义 4
1.2 数学建模论文的撰写方法 5
1.3 数学建模实例：双层玻璃的功效 6
1.4 思考题 8
第2章 数学建模涉及的软件介绍 10
2.1 用于数学建模的几种常见软件 10
2.1.1 数值计算软件MATLAB 10
2.1.2 优化软件 LINGO/LINDO 11
2.1.3 科学计算软件Mathematica 11
2.1.4 统计软件SPAA和SAS 12
2.2 示例 13
2.3 习题 19
第3章 MATLAB入门 20
3.1 MATLAB的安装及使用 20
3.2 MATLAB中的变量及函数 20
3.3 MATLAB矩阵运算 25
3.3.1 创建矩阵 25
3.3.2 矩阵中元素的访问 26
3.3.3 矩阵的运算 27
3.4 基本平面绘图命令 32
3.5 基本三维绘图命令 33
3.6 MATLAB程序设计 34
3.7 M文件 39
3.8 习题 40
第4章 MATLAB在数值计算中的应用 42
4.1 求方程的根 42
4.1.1 二分法 42
4.1.2 不动点迭代 43
4.1.3 牛顿法及割线法 44
4.1.4 两个MATLAB求根函数 46
4.2 求方程组的根 47
4.2.1 线性方程组 47
4.2.2 非线性方程组 51
4.3 数值积分 53
4.3.1 梯形求积 53
4.3.2 Simpson求积 54
4.3.3 Gauss求积 54
4.3.4 二重积分 56
4.3.5 三重积分 56
4.4 数值微分 57
4.5 习题 60
第5章 线性规划模型 62
5.1 线性规划模型 62
5.2 线性规划的解法 64
5.3 用LINGO解线性规划 68
5.4 线性规划案例分析：投资的收益和风险 72
5.5 习题 75
第6章 无约束优化 77
6.1 无约束优化问题的描述 77
6.1.1 无约束优化问题的最优性条件 78
6.1.2 最优化方法结构 78
6.2 无约束优化问题的求解 79
6.2.1 一维搜索方法 79
6.2.2 最速下降法（梯度法） 84
6.2.3 牛顿法 85
6.2.4 拟牛顿法 86
6.3 用MATLAB求解无约束优化 88
6.4 案例分析 90
6.5 习题 93
第7章 约束非线性规划 94
7.1 约束非线性规划问题的描述 94
7.2 约束非线性规划问题的求解 96
7.3 用MATLAB求解非线性规划 99
7.4 案例分析 102
7.4.1 飞行管理问题 102
7.4.2 节约洗衣机用水问题 105
7.5 习题 106
第8章 插值与拟合 108
8.1 问题的提出 108
8.2 常见插值方法 108
8.2.1 插值法的基本原理 108
8.2.2 Lagrange插值 109
8.2.3 Newton插值 111
8.2.4 分段插值 112
8.2.5 三次样条插值 113
8.3 用MATLAB求解插值问题 115
8.3.1 一维插值 115
8.3.2 二维插值 118
8.4 数据拟合 119
8.4.1 曲线拟合的线性最小二乘法 119
8.4.2 非线性拟合 120
8.5 用MATLAB解曲线拟合问题 121
8.5.1 多项式拟合 121
8.5.2 一般的曲线拟合 122
8.6 案例分析 123
黄河小浪底调水调沙问题 123
模型的建立与求解 124
8.7 习题 126
第9章 微分方程理论与数学建模 129
9.1 常微分方程及其模型 129
9.1.1 微分方程的基本概念 129
9.1.2 微分力程的建立及求解 130
9.2 差分方程及其模型 138
9.2.1 基本概念 139
9.2.2 差分方程常用解法与性质分析 141
9.2.3 差分方程举例 142
9.3 用MATLAB解常微分方程 147
9.3.1 相关函数（命令）及简介 148
9.3.2 几个例子 149
9.4 案例分析 154
9.5 习题 155
第10章 图论与最短路模型 156
10.1 图论的基本概念 156
10.1.1 图的概念 156
10.1.2 图的矩阵表示 157
10.2 最短路问题及其算法 159
10.2.1 基本概念 159
10.2.2 固定起点的最短路 159
10.2.3 每对顶点之间的最短路 162
10.3 最短路问题案例分析 165
10.3.1 可化为最短路问题的多阶段决策
问题 165
10.3.2 选址问题 167
10.4 最优化树的求解 169
10.4.1 基本概念 169
10.4.2 求解算法 169
10.5 案例分析：最优截断切割问题 173
10.5.1 问题 173
10.5.2 假设 173
10.5.3 模型的建立与求解 173
10.6 习题 177
第11章 数据的统计描述和分析 179
11.1 统计的基本概念 179
11.1.1 总体和样本 179
11.1.2 基本统计量 179
11.1.3 统计中常用的几个概率分布 180
11.2 频数直方图 184
11.3 参数估计 185
11.3.1 参数的点估计 185
11.3.2 参数的区间估计 188
11.3.3 参数估计的MATLAB实现 191
11.4 假设检验 192
11.4.1 假设检验的基本概念 192
11.4.2 正态总体均值的假设检验 193
11.4.3 分布的假设检验 197
11.5 建模实例 199
11.5.1 婴儿出生时刻问题 199
11.5.2 身高变化问题 201
11.6 习题 204
第12章 回归分析 206
12.1 一元线性回归 206
12.1.1 线性回归的概念 206
12.1.2 线性回归的数学模型 207
12.1.3 回归系数的估计 207
12.1.4 检验、预测与控制 208
12.1.5 可线性化的一元非线性回归
（曲线回归） 210
12.2 多元线性回归 211
12.2.1 数学模型及定义 211
12.2.2 模型参数估计 212
12.2.3 多元线性回归中的检验与预测 212
12.2.4 逐步回归分析 213
12.3 用MATLAB进行回归分析 214
12.3.1 MATLAB统计工具箱中的回归
分析命令 214
12.3.2 多元线性回归 215
12.3.3 多项式回归 217
12.3.4 非线性回归 221
12.3.5 逐步回归 222
12.4 习题 225
第13章 2010年数学建模大赛获奖论文范例 227
附录 245
参考文献 254

1. 数学建模案例精编 [吴建国 主编]