高等数学与数学软件（第二版）

一、针对高职高专学生特点。巧妙安排章节内容。

本书作者根据教育部新制定的“高职高专教育高等数学课程教学课程教学基本要求”安排章节内容。积分学是高职高专学生学习的一个难点，为了便于学生掌握积分的理论和计算，本书先介绍定积分，再介绍不定积分。

二、引入数学软件MATLAB，简化学生计算。

本书在介绍徽积分基本理论之后，将复杂的计算运用数学软件MATLAB求解，在解放学生的同时帮助学生提高数学素养、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力。

三、推动高等数学教材改革，加强数学实验。

本书将数学知识运用到现实生活的实际问题中，把数值计算方法、数学建模与实用软件、典型案例结合起来学习课程。在培养学生分析问题能力的同时激发学生的学习粉趣。

一部好的教材必须经过师生反复施教、施学，不断完善，才能将其打造成一部优秀的教材。本教材自出版以来，对它的使用对象进行了科学的实验和持续的跟踪反馈，为教材的修订做了充分的准备。主要做了如下工作：一是要求编者及使用者在教学过程中，注意发现并收集教材中的不足以及错误的地方；二是编者定期召开教材使用情况汇报研讨会，根据使用者的要求，制定教材的修订原则及修订内容。具体如下：

1．教材的定位进行适当的调整，修订后的教材深广度有所提高，以便适合当前各类高校各层次的学生学习的需要。专科层次的学生学习数学的主要目的是将数学作为工具来解决专业上的一些问题，而本科层次的学生还要学会用数学来分析研究问题。为此，在修订版中对各章节内容进行了补充，包括数学概念的引入，概念的本质涵义和概念之间的内在联系，重要定理和难点内容的详细阐述，特别是如何用数学知识去解决日常生活中常见的数学问题等。

2．教材内容的安排让读者更加易于理解。例如，在介绍极限概念时，首先提出第一个重要极限，并列表分析，让读者先了解这个极限，在后面极限存在性分析时，再严格证明；在积分学中，先介绍定积分和微积分基本定理，再提出不定积分，水到渠成；在微分方程中，将一阶线性微分方程和二阶线性微分方程放在一节内容里，让读者更加清楚的理解线性微分方程的概念以及解法，等等。

3．对第一版中存在的部分不够严谨的定义和定理进行了科学的、严密的订正与改写。目前，为了体现数学的作用，许多教材在编写的过程中使用了通俗性的语言，弱化了数学概念和定理的严谨性，导致定理在某些情况下失效。为了避免上述问题，我们参照国内外经典著作，对教材中的每一个定义和定理进行了字斟句酌的修改，使教材更加科学。

4．教材的习题配置是教材的重要组成部分，是高等数学课程教学中实现教学要求的重要环节。修订时吸收国内外一些优秀教材在习题配置方面的优点，遵循从简单到复杂的原则，增加了大量的习题，特别是增加了一些日常生活中遇到的实际问题。

通过本次修订，本教材将有一次质的飞跃，但是教材的建设是一项长期的工作，还需要我们不断的完善，也欢迎广大专家、同行和读者继续给予批评指正。

编 者

2011年6月

第二版前言
第一版前言

第1章 MATLAB入门 1
1.1 MATLAB简介 1
1.1.1 Matlab的由来 1
1.1.2 Matlab的主要特点 1
1.2 MATLAB的工作界面 3
1.2.1 命令窗口（The Command Window） 4
1.2.2 历史命令窗口（The History Command
Window） 5
1.2.3 工作空间窗口（Workspace Window） 5
1.2.4 编译窗口（The Edit/Debug Window） 6
1.2.5 图像窗口（Figure Window） 6
1.3 MATLAB基本操作 7
1.3.1 变量 7
1.3.2 数学运算符号、标点符号及数学
函数 9
1.3.3 矩阵与数组 10
1.4 MATLAB符号运算基础 14
1.4.1 符号变量的生成和使用 14
1.4.2 符号方程的生成和求解 15
1.4.3 符号数的精度控制 17
1.5 MATLAB 帮助系统 18
1.5.1 帮助窗口（helpbrowser） 18
1.5.2 帮助命令 19
1.5.3 演示系统 20
1.5.4 远程帮助系统 21
总习题一 21
第2章 函数、图形与模型 22
2.1 函数和图形 22
2.1.1 函数的概念 22
2.1.2 函数的几种特性 27
2.1.3 反函数 30
习题2.1 31
2.2 初等函数 32
2.2.1 基本初等函数 32
2.2.2 复合函数 37
2.2.3 初等函数 38
习题2.2 38
2.3 函数模型 39
2.3.1 数学模型的概念 39
2.3.2 建立数学模型 40
习题2.3 44
2.4 MATLAB的绘图功能与初等运算 44
2.4.1 绘制函数的图像 44
2.4.2 多项式的运算 56
2.4.3 方程求解 58
习题2.4 59
总习题二 60
第3章 导数与微分 63
3.1 函数的极限 63
3.1.1 函数的极限 63
3.1.2 无穷小与无穷大 68
3.1.3 极限的运算法则 70
附录：数列及函数极限的定义 73
习题3.1 75
3.2 极限存在准则 两个重要极限 76
3.2.1 夹逼准则 76
3.2.2 单调有界收敛准则 78
3.2.3 连续复利问题 80
3.2.4 无穷小的比较 81
习题3.2 83
3.3 函数的连续性 84
3.3.1 连续函数的概念 84
3.3.2 函数的间断点 87
3.3.3 闭区间上连续函数的性质 88
3.3.4 初等函数的连续性 90
习题3.3 91
3.4 导数的概念 91
3.4.1 平均变化率 91
3.4.2 导数的定义 93
3.4.3 求导数举例 95
3.4.4 导数的几何意义 96
3.4.5 函数的可导性与连续性之间的关系 96
习题3.4 97
3.5 导数运算法则 98
3.5.1 导数的四则运算法则 98
3.5.2 反函数求导法 100
3.5.3 复合函数求导法则 101
3.5.4 初等函数的求导法则 102
3.5.5 隐函数求导法 103
3.5.6 对数求导法 105
3.5.7 参数方程求导法 106
3.5.8 高阶导数 107
习题3.5 109
3.6 微分及其应用 111
3.6.1 微分的定义 111
3.6.2 微分的几何意义 112
3.6.3 微分公式与微分运算法则 113
3.6.4 微分的应用 115
习题3.6 117
3.7 利用MATLAB计算极限和导数 117
3.7.1 极限的运算 117
3.7.2 导数与微分的计算 119
习题3.7 120
总习题三 120
第4章 微分中值定理和导数的应用 124
4.1 微分中值定理 124
4.1.1 罗尔定理 124
4.1.2 拉格朗日中值定理 126
4.1.3 柯西中值定理 128
习题4.1 129
4.2 洛必达法则 130
4.2.1 问题的提出 130
4.2.2 洛必达法则 130
习题4.2 135
*4.3 泰勒公式 135
习题4.3 138
4.4 函数的单调性与函数的极值 138
4.4.1 函数单调性的判定 138
4.4.2 函数的极值 141
4.4.3 最大值与最小值问题 144
习题4.4 146
4.5 函数曲线的凹凸性和拐点 147
习题4.5 151
4.6 函数的图形 151
4.6.1 渐近线 151
4.6.2 函数图形的描绘 153
习题4.6 155
4.7 利用MATLAB求函数的零点和极值点 155
4.7.1 函数零点 155
4.7.2 函数极值与最值 157
习题4.7 158
总习题四 158
第5章 定积分与不定积分 161
5.1 定积分的概念与基本性质 161
5.1.1 定积分问题举例 161
5.1.2 定积分的定义 163
5.1.3 定积分的性质 165
习题5.1 168
5.2 微积分基本定理 168
习题5.2 171
5.3 积分法（Ⅰ） 172
5.3.1 不定积分的计算方法 172
5.3.2 不定积分的性质 174
5.3.3 不定积分的换元法 174
5.3.4 分部积分法 181
习题5.3 183
5.4 积分法（Ⅱ） 184
5.4.1 定积分的换元法 185
5.4.2 定积分的分部积分法 188
习题5.4 189
5.5 反常积分 190
5.5.1 无穷限的反常积分 190
5.5.2 无界函数的反常积分 193
习题5.5 195
5.6 利用MATLAB在积分计算中的应用 195
习题5.6 199
总习题五 199
第6章 积分的应用 202
6.1 积分的几何应用 202
习题6.1 205
6.2 积分的经济应用 205
6.2.1 变化率与总量 205
6.2.2 收益流的现值和终值 207
习题6.2 210
6.3 积分的其他应用 210
习题6.3 213
总习题六 214
第7章 微分方程 215
7.1 微分方程的例子与概念 215
7.1.1 引例 215
7.1.2 微分方程的定义和术语 216
7.1.3 微分方程的解 217
习题7.1 219
7.2 可分离变量的微分方程和齐次方程 219
7.2.1 可分离变量的微分方程 219
7.2.2 齐次方程 225
习题7.2 228
7.3 线性微分方程 229
7.3.1 一阶线性微分方程 229
7.3.2 二阶常系数线性微分方程 232
习题7.3 237
7.4 可降阶的二阶微分方程 238
7.4.1 型的微分方程 238
7.4.2 型的微分方程 238
7.4.3 型的微分方程 240
习题7.4 241
7.5 微分方程问题的MATLAB求解 242
总习题七 244
第8章 多元函数微分学 246
8.1 空间解析几何简介 246
8.1.1 空间直角坐标系 246
8.1.2 空间两点间的距离公式 247
8.1.3 空间曲面与方程 248
习题8.1 249
8.2 多元函数的基本概念 249
8.2.1 平面点集 249
8.2.2 多元函数的概念 250
8.2.3 多元函数的极限 251
8.2.4 多元函数的连续性 253
附录：二元函数极限的 定义 253
习题8.2 254
8.3 偏导数 254
8.3.1 偏导数的定义及其计算法 254
8.3.2 高阶偏导数 257
习题8.3 258
8.4 全微分 259
8.4.1 全微分的定义 259
8.4.2 全微分存在的条件 259
*8.4.3 全微分在近似计算中的应用 261
习题8.4 261
8.5 复合函数微分法与隐函数微分法 262
8.5.1 复合函数微分法 262
8.5.2 隐函数微分法 264
习题8.5 267
8.6 多元函数的极值 267
8.6.1 二元函数的极值 268
8.6.2 多元函数的最值 270
8.6.3 条件极值与拉格朗日乘数法 271
习题8.6 274
8.7 MATLAB在多元函数微分学中的应用 274
8.7.1 求多元函数的偏导数 274
8.7.2 求多元函数的极值 275
8.7.3 求二元函数的最值 277
总习题八 278
第9章 多元函数积分学 280
9.1 二重积分的概念与性质 280
9.1.1 二重积分的概念 280
9.2.2 二重积分的性质 282
习题 9.1 284
9.2 二重积分的计算方法 284
9.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算
方法 284
9.2.2 二重积分在极坐标系下的计算
方法 289
习题9.2 292
*9.3 二重积分的应用 293
9.3.1 曲面的面积 294
9.3.2 平面薄片的质心 295
9.3.3 平面薄片的转动惯量 297
习题9.3 297
9.4 对坐标的曲线积分 297
9.4.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 298
9.4.2 对坐标的曲线积分的计算 299
例3 301
习题9.4 302
9.5 格林公式及其应用 302
9.5.1 格林公式 302
9.5.2 平面上曲线积分与路径无关的
条件 304
习题9.5 305
9.6 多元函数积分学问题的MATLAB求解 306
9.6.1 二重积分的计算 306
9.6.2 二重积分的应用 307
9.6.3 对弧长的曲线积分计算 308
9.6.4 对坐标的曲线积分计算 308
总习题九 309
第10章 无穷级数 310
10.1 数项级数 310
10.1.1 数项级数的的收敛与发散 310
10.1.2 收敛级数的基本性质 312
习题10.1 313
10.2 正项级数 313
10.2.1 正项级数收敛的基本判定定理 313
10.2.2 正项级数的其他审敛法 316
习题10.2 318
10.3 任意项级数 318
10.3.1 交错级数 318
10.3.2 绝对收敛与条件收敛 319
习题10.3 320
10.4 幂级数 321
10.4.1 函数项级数的概念 321
10.4.2 幂级数及其收敛性 322
10.4.3 幂级数的运算性质 326
习题10.4 327
10.5 MATLAB在函数的级数展开与级数
求和问题中的应用 328
10.5.1 级数求和 328
10.5.2 幂级数的收敛域 328
10.5.3 函数的泰勒级数展开式 329
总习题十 330
第11章 数值计算 332
11.1 拉格朗日（Lagrange）插值法 333
11.1.1 线性插值 333
11.1.2 抛物线插值 334
11.1.3 拉格朗日插值公式 336
11.1.4 分段线性插值 337
习题11.1 339
11.2 曲线拟合的最小二乘法 340
习题11.2 344
11.3 用MATLAB解插值和拟合问题 344
11.3.1 多项式插值 344
11.3.2 拉格朗日插值及其Matlab程序 346
11.3.3 分段线性插值 348
11.3.4 多项式拟合 351
习题11.3 353
总习题十一 354
附录1 微积分学的建立及数学家简介 356
附录2 常用的初等数学公式 362
附录3 常用积分公式 365
参考答案 374
参考文献 400

1. 高等数学导学篇（下册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
2. 高等数学导学篇（上册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
3. 高等数学（下册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
4. 高等数学（上册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
5. 高等数学（下册） [秦红兵]
6. 高等数学（上册） [主编 白莉 秦红兵]
7. 高等数学（下册）（第二版） [主编 何春江]
8. 高等数学（上册）（第二版） [主编 何春江]
9. 高等数学 [主编 刘彦辉 张 静]
10. MATLAB程序设计实验指导与综合训练 [王永国 鲍中奎 吴涛 编著]
11. 高等数学学习辅导与习题解答（第三版） [主编 翟秀娜]
12. 高等数学（下册） [何春江]
13. 高等数学（上册） [何春江]
14. 高等数学（下册）课后习题详解及考研题型解析 [何红洲]
15. 高等数学学习指导与习题解答（经管、文科类） [主 编 郭照庄]
16. 高等数学（下册） [何红洲]
17. 高等数学（第三版） [何春江]
18. 高等数学（下册）（经管、文科类） [主编 张翠莲]
19. 高等数学（上册）（经管、文科类） [主编 张翠莲]
20. 高等数学（下册） [主 编 黄玉娟 李爱芹]
21. 高等数学（上册）课后习题详解及考研题型解析 [何红洲]
22. 高等数学（上册） [主 编 黄玉娟 李爱芹]
23. 高等数学（上册） [主编 何红洲]
24. 应用高等数学教程（能力提升篇） [主编 杨勇 黄庆波]
25. 应用高等数学教程（专业拓展篇） [杨勇 徐健清]
26. 应用高等数学教程（公共基础篇） [杨勇 张静文]
27. 高等数学 [朱福臣]
28. 高等代数（第三版）全程辅导及习题精解 [李坤金]
29. 高等数学课程改革与实践 [李先明]
30. 高等数学（第六版•下册）同步辅导及习题全解 [苏志平 郭志梅]