高等数学导学篇（上册）

前 言

高等数学是我国高等教育中一门重要的基础课，是绝大部分理工科专业的必修课。与初等数学相比，高等数学的理论更加抽象，推理更加严密，初学者往往感到难以理解，不能很好地把握学习的重点和突破点，缺乏分析问题和解决问题的思想和方法，无法灵活运用所学知识。基于这种现状，为了帮助学生摆脱学习困扰，更好地学习高等数学这门课程，我们编写了本书。

本书与中国水利水电出版社出版，李爱芹、胡雷、尹金生主编的《高等数学》相配套。内容按章节编排，每节包含知识点分析、典例解析、习题解答三个部分，部分知识重点和难点提供了学习视频；每章开头是知识结构图、学习目标，最后配有单元练习题；每册后面附有期末模拟题。

 知识结构图：展示本章主要知识点及彼此间的内在联系，旨在让学生更好地掌握学科基本知识结构，对各章节关系有整体的认识。

 视频资源：针对部分重点和难点精心录制了微课，扫描二维码即可观看。

 学习目标：明确每章具体的学习任务和学习要求，使学生能够知道重点和难点，有的放矢；其中使用的动词“掌握”“理解”“会”表示要求较高，“了解”要求相对较低。

 知识点分析：梳理每节的知识点，简单明了，重点突出，对教材内容做了概括总结，并适当进行了知识的综合和延伸。

 典例解析：精心选取典型例题对思想和方法进行剖析、点拨，力求使学生在牢固掌握基础知识和技能的基础上，能够把握问题的实质和规律，做到举一反三，灵活运用；范例选取注重代表性、示范性，注重数学与实际应用相结合，注重对教材的内容做适当的扩展和延伸，是教师上习题课和学生自学的极佳资料。

 习题解答：对配套教材中的课后习题和每章的复习题做了详细分析和解答，旨在引导学生先独立思考，自己做题，然后通过比较习题解答，对问题有更透彻的理解。

 单元练习题：每章后面配有单元练习A和B。其中单元练习A强调重点，选取的题目注重考查本章必须要掌握的知识点；单元练习B强调综合性，以开拓思路，选取的题目有部分考研题，难度比单元练习A稍大。

 期末模拟题：每册后面都附有一套期末模拟题，供学生自测。

参加本书编写及视频录制的有：李文婧（第3、4、5章；第1、6章及下册微课）、胡雷（第6、8章；第5章微课）、刘菲菲（第1、9、10章；第2、4章微课）、廉立芳（第2、7、11章；第3、4章微课）、王晓明、孙光辉。全书由李文婧和尹金生统稿。本书的编写参考和借鉴了许多国内外相关资料，得到了山东交通学院各级领导和同事的支持和帮助，另外中国水利水电出版社的相关人员为本书出版付出了辛勤的劳动，在此谨表示衷心的感谢！

本书汲取了多年来高等数学教学改革和教学实践的成果，融入了编者多年来的教学经验，但由于编写水平和时间有限，书中难免存在不足，敬请读者批评指正！

编 者

2022年2月

目 录
前言

第1章 函数与极限 1
知识结构图 1
本章学习目标 1
1.1 函数 2
1.1.1 知识点分析 2
1.1.2 典例解析 4
1.1.3 习题解答 7
1.2 数列的极限 10
1.2.1 知识点分析 10
1.2.2 典例解析 11
1.2.3 习题解答 12
1.3 函数的极限 14
1.3.1 知识点分析 14
1.3.2 典例解析 15
1.3.3 习题解答 16
1.4 无穷小与无穷大 18
1.4.1 知识点分析 18
1.4.2 典例解析 19
1.4.3 习题解答 20
1.5 极限的运算法则 21
1.5.1 知识点分析 21
1.5.2 典例解析 22
1.5.3 习题解答 24
1.6 极限存在准则 两个重要极限 27
1.6.1 知识点分析 27
1.6.2 典例解析 28
1.6.3 习题解答 29
1.7 无穷小的比较 32
1.7.1 知识点分析 32
1.7.2 典例解析 33
1.7.3 习题解答 35
1.8 函数的连续性与间断点 37
1.8.1 知识点分析 37
1.8.2 典例解析 38
1.8.3 习题解答 40
1.9 闭区间上连续函数的性质 43
1.9.1 知识点分析 43
1.9.2 典例解析 43
1.9.3 习题解答 44
复习题1解答 45
单元练习A 49
单元练习B 50
单元练习A答案 51
单元练习B答案 52
第2章 导数与微分 54
知识结构图 54
本章学习目标 55
2.1 导数的概念 55
2.1.1 知识点分析 55
2.1.2 典例解析 56
2.1.3 习题解答 58
2.2 函数的求导法则 59
2.2.1 知识点分析 59
2.2.2 典例解析 60
2.2.3 习题解答 62
2.3 高阶导数 65
2.3.1 知识点分析 65
2.3.2 典例解析 66
2.3.3 习题解答 68
2.4 隐函数及由参数方程所确定的
函数的导数 70
2.4.1 知识点分析 70
2.4.2 典例解析 70
2.4.3 习题解答 72
2.5 函数的微分 75
2.5.1 知识点分析 75
2.5.2 典例解析 76
2.5.3 习题解答 77
复习题2解答 78
单元练习A 83
单元练习B 84
单元练习A答案 86
单元练习B答案 87
第3章 微分中值定理与导数的应用 89
知识结构图 89
本章学习目标 89
3.1 微分中值定理 90
3.1.1 知识点分析 90
3.1.2 典例解析 91
3.1.3 习题解答 92
3.2 洛必达（L’Hospital）法则 95
3.2.1 知识点分析 95
3.2.2 典例解析 95
3.2.3 习题解答 97
3.3 泰勒公式 99
3.3.1 知识点分析 99
3.3.2 典例解析 100
3.3.3 习题解答 101
3.4 函数的单调性与极值 103
3.4.1 知识点分析 103
3.4.2 典例解析 104
3.4.3 习题解答 105
3.5 函数的最大值与最小值及其
应用 108
3.5.1 知识点分析 108
3.5.2 典例解析 108
3.5.3 习题解答 110
3.6 函数的凹凸性与拐点 函数图
形的描绘 111
3.6.1 知识点分析 111
3.6.2 典例解析 112
3.6.3 习题解答 113
3.7 曲率 116
3.7.1 知识点分析 116
3.7.2 典例解析 116
3.7.3 习题解答 117
复习题3解答 118
单元练习A 123
单元练习B 124
单元练习A答案 125
单元练习B答案 126
第4章 不定积分 130
知识结构图 130
本章学习目标 130
4.1 不定积分的概念与性质 131
4.1.1 知识点分析 131
4.1.2 典例解析 132
4.1.3 习题解答 134
4.2 换元积分法 136
4.2.1 知识点分析 136
4.2.2 典例解析 138
4.2.3 习题解答 142
4.3 分部积分法 148
4.3.1 知识点分析 148
4.3.2 典例解析 149
4.3.3 习题解答 151
4.4 有理函数的积分 154
4.4.1 知识点分析 154
4.4.2 典例解析 156
4.4.3 习题解答 157
复习题4解答 161
单元练习A 171
单元练习B 172
单元练习A答案 172
单元练习B答案 173
第5章 定积分及其应用 177
知识结构图 177
本章学习目标 177
5.1 定积分的概念与性质 178
5.1.1 知识点分析 178
5.1.2 典例解析 179
5.1.3 习题解答 181
5.2 微积分基本公式 185
5.2.1 知识点分析 185
5.2.2 典例解析 185
5.2.3 习题解答 187
5.3 定积分的换元法和分部积分法 190
5.3.1 知识点分析 190
5.3.2 典例解析 191
5.3.3 习题解答 193
5.4 反常积分 199
5.4.1 知识点分析 199
5.4.2 典例解析 201
5.4.3 习题解答 201
5.5 定积分的元素法及其在几何学
上的应用 203
5.5.1 知识点分析 203
5.5.2 典例解析 205
5.5.3 习题解答 209
5.6 定积分的元素法在物理学
上的应用 218
5.6.1 知识点分析 218
5.6.2 典例解析 218
5.6.3 习题解答 219
复习题5解答 221
单元练习A 229
单元练习B 229
单元练习A答案 231
单元练习B答案 232
第6章 常微分方程 236
知识结构图 236
本章学习目标 237
6.1 微分方程的基本概念 237
6.1.1 知识点分析 237
6.1.2 典例解析 237
6.1.3 习题解答 238
6.2 可分离变量的微分方程 239
6.2.1 知识点分析 239
6.2.2 典例解析 239
6.2.3 习题解答 240
6.3 一阶线性微分方程 243
6.3.1 知识点分析 243
6.3.2 典例解析 243
6.3.3 习题解答 245
6.4 可降阶的二阶微分方程 246
6.4.1 知识点分析 246
6.4.2 典例解析 247
6.4.3 习题解答 248
6.5 二阶常系数齐次线性微分方程 250
6.5.1 知识点分析 250
6.5.2 典例解析 251
6.5.3 习题解答 251
6.6 二阶常系数非齐次线性微分
方程 253
6.6.1 知识点分析 253
6.6.2 典例解析 254
6.6.3 习题解答 255
复习题6解答 258
单元练习A 260
单元练习B 261
单元练习A解答 262
单元练习B解答 263
高等数学（1）期末模拟题 267
高等数学（1）期末模拟题答案 269
参考文献 271

1. 大学应用数学 [主编 郭立娟]
2. 工业机器人拆装与调试 [主编 胡月霞 向艳芳 朱奇]
3. 功能材料制备与表征实验指导书 [龚伟平 赵军峰 梅海娟 等编著]
4. 信号与系统（第二版） [主编 张宇]
5. 信息技术基础 [主编 唐倩 邵锐]
6. Python 语言程序设计实践指导 [主编　张双狮]
7. Photoshop 图形图像项目化教程 [主编 胡斌斌 黎娅 苏大椿]
8. 体育舞蹈教程 [主编 刘伟 陈志明 曾明]
9. 线性代数导学篇 [主编 史昱]
10. 信息技术基础实训与习题指导（Windows7+Office2016） [主编 周金容 唐天国]
11. 大学生创新创业基础 [主编 姜国权 姜福佳]
12. 信息技术（微课版） [王云　徐江鸿　李清霞　罗学锋　]
13. 管理基础与实务 [主编 王凤基 颜汉军]
14. 高等数学导学篇（下册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
15. 高等数学（下册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
16. 高等数学（上册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
17. 人工智能应用基础 [主编 杨缨 李佳]
18. 中华水文化（慕课版）（第二版） [毕雪燕 杨华轲 罗玲谊 等编著]
19. 电路与电子技术Ⅱ——电路分析基础 [主编 陈晓 金哲]
20. 人工智能概论（第二版） [主编　任云晖　丁红　徐迎春 ]
21. 信息时代美育之道 [主编　刘宏宇　黎娅]
22. 数字媒体交互设计项目式教程（微课版） [主编　苏陆]
23. Amazing！儿童英语自然拼读分级教材（全8册） [王玲　编著]
24. Spark大数据处理技术 [主编　刘仁山　周洪翠　庄新妍]
25. 高等数学（下册） [秦红兵]
26. 人工智能算法与实践 [主编　梁琨　张翼英]
27. 计算机网络技术项目化教程（微课版） [主编 王艳萍 安华萍]
28. 数据清洗 [黄源　刘智杨　孙大松]
29. 电路设计与PCB制作实操教程 [主编 周永宏]
30. 电路与电子技术Ⅰ—数字电子技术 [主编 郑玉珍 王淑琴]