复变函数与积分变换

讲解细致

全书系统地介绍了复变函数与积分变换的基本理论和方法

学练结合

每章内容配备适当练习题及答案，方便学生巩固相关知识

应用导向

本书强调理论的应用性，旨在应用数学知识解决实际问题

“复变函数与积分变换”是高等学校一门重要的数学基础课。它是自然科学与工程技术领域中常用的数学工具，也是学习工科各专业课的前置课程与必修课程。编写一本面向一般院校工科各专业本科生，符合课程体系需求、难度适中的教材是编者的期望。

本书是编者在从事通信工程专业“复变函数与积分变换”课程十余年教学实践的基础上，在工科数学教学基本要求的指导下，结合大学数学课程体系的改革要求，以培养学生数学素质为牵引，在参考众多优秀的中外教材的条件下编写而成的。本书具有以下特点：

（1）作为面向工科各专业本科生的教材，本书不刻意追求理论上的完整性，在定理的论证过程中以易于理解、追求知识体系的连贯性而非完备性为目标；采用平铺直叙的方式，不采用数学教材惯用的定理、推论加上证明的撰写方法，以叙述的方式引入命题，用加粗与下划线的方式突出定理与推论。用这种写作方法尽可能排除工科学生学习数学时的枯燥感。

（2）复变函数的连续性、导数、积分和级数，与高等数学中实变函数的连续性、导数、积分和级数是呼应的。本书在推导演绎的过程中结合高等数学所学内容加以展开：一方面帮助学生建立系统性的知识体系；另一方面通过对比、思考异同点，帮助、强化学生理解和掌握复变函数的相关理论。

（3）本书面向工科各个专业，在撰写积分变换章节的时候，采用工科专业熟悉的表述方式，比如用t表示自变量等；在说明积分变换应用的时候，采用了与专业相关的例子。通过这种方式，实现学生学习本课程与后继专业课程的衔接。

（4）本书的习题量大，且只提供了证明题与计算题，这为教师和学生提供了选择的余地。

总之，本书内容组织由浅入深、理论联系实际、理论体系完备、难度适中，适应了当前工科数学教学的需求。

本书在编写过程中得到了长沙学院各级领导的鼓励与支持，在此表示感谢！编者才疏学浅，书中难免存在错误与疏漏之处，恳切希望老师与同学们提出宝贵意见。

前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数的概念与运算 1
1.1.1 复数的代数表示 1
1.1.2 复数的几何表示 5
1.1.3 复球面和复数的矩阵表示法 13
1.2 复变函数 16
1.2.1 区域的概念 16
1.2.2 复变函数及其连续性 20
本章小结 28
练习 28
第2章 复变函数的导数 32
2.1 解析函数 32
2.1.1 复变函数的导数与微分 32
2.1.2 解析函数的定义与性质 35
2.1.3 解析函数与调和函数的关系 42
2.2 初等函数 46
2.2.1 复指数函数 47
2.2.2 复对数函数 48
2.2.3 一般幂函数与一般指数函数 51
2.2.4 复三角函数和复双曲函数 53
2.2.5 反三角函数与反双曲函数 58
本章小结 59
练习 60
第3章 复变函数的积分 64
3.1 复积分的定义与性质 64
3.1.1 复积分的定义 64
3.1.2 复积分的性质 67
3.1.3 复积分存在的条件 69
3.2 柯西积分定理 72
3.2.1 柯西-古萨定理 72
3.2.2 复合闭路定理 75
3.2.3 原函数 79
3.3 柯西积分公式及解析函数的高阶导数 81
3.3.1 柯西积分公式 82
3.3.2 解析函数的高阶导数 84
本章小结 86
练习 87
第4章 复变函数的级数表示 90
4.1 复数项级数 90
4.1.1 复数列的极限 90
4.1.2 复数项级数的概念 92
4.2 幂级数 94
4.2.1 幂级数的概念 95
4.2.2 幂级数的性质 98
4.3 泰勒级数 101
4.4 洛朗级数 105
本章小结 110
练习 111
第5章 留数及其应用 115
5.1 解析函数的孤立奇点 115
5.1.1 孤立奇点的定义与分类 115
5.1.2 复变函数的零点 118
5.1.3 复变函数在无穷远点的性态 120
5.2 留数 122
5.2.1 留数的概念 122
5.2.2 函数在极点处的留数 124
5.2.3 无穷远点的留数 127
5.3 留数在定积分计算中的应用 130
5.3.1 形如 的积分 130
5.3.2 形如 的积分 131
5.3.3 形如 的积分 132
本章小结 134
练习 134
第6章 保形映射 137
6.1 保形映射简介 137
6.1.1 保形映射的概念 137
6.1.2 保形映射的基本问题 141
6.2 分式线性映射 144
6.2.1 分式线性映射的分解 145
6.2.2 分式线性映射的保形性 148
6.2.3 分式线性映射的保圆性 149
6.2.4 分式线性映射的保对称性 150
6.2.5 唯一决定分式线性映射的条件 152
6.2.6 分式线性映射应用举例 154
6.3 初等函数的映射 158
6.3.1 复指数函数构成的映射 158
6.3.2 幂函数构成的映射 160
本章小结 161
练习 162
第7章 傅里叶变换 164
7.1 预备知识 164
7.1.1 单位脉冲函数 164
7.1.2 卷积 166
7.1.3 积分变换 168
7.2 傅里叶变换的概念与性质 170
7.2.1 傅里叶变换的定义 170
7.2.2 傅里叶变换的性质 173
7.2.3 傅里叶变换的应用 178
本章小结 180
练习 180
第8章 拉普拉斯变换 184
8.1 拉普拉斯变换的概念 184
8.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 185
8.1.2 拉普拉斯变换存在定理 187
8.1.3 拉普拉斯逆变换 189
8.2 拉普拉斯变换的性质 192
8.3 拉普拉斯变换的应用 199
本章小结 202
练习 203
附录1 傅里叶变换简表 207
附录2 拉普拉斯变换简表 210
参考文献 215

1. 新时代大学生美育教育 [穆林 刘苍劲 彭圣芳]
2. 电子商务英语 [丁文毅 严慧]
3. 智能可穿戴项目化教程 [曾文波 陈赵云]
4. 视觉设计解析与实战教程 [姜春磊　杨晓]
5. 电子产品制图与制版案例教程 [邹莉莉　苏文斌　贺小艳]
6. 设计新维度：CMF元素与创新产品设计 [彭小鹏]
7. 园林树木识别与应用 [主编 张玉泉]
8. 文本信息处理与应用 [主编　何黎松　姚香秀]
9. 工业机器人编程及应用（第二版） [主编 向艳芳 胡月霞]
10. C语言程序设计（第二版） [主编 刘祖珉 赵仕波]
11. 数据分析与应用 [主编　孙伟　王兰芹]
12. Linux操作系统配置与管理项目化教程（第二版） [主编 白玉羚 刘金明 闫 淼]
13. Ansys SpaceClaim直接建模与仿真指南 [蔡宜时 编著]
14. 基于大数据的智慧农业管理平台关键技术研究与实践 [周永福 著]
15. 健美运动 [戴显岩]
16. Python程序开发基础（AI+微课版） [赵艳莉　曾鑫]
17. 大学生心理困境突围之路 [张珏 著]
18. 机器学习基础与实践 [主编　李晓峰　胥文婷　李云波]
19. 大模型应用实战 DeepSeek＋即梦AI＋剪映重塑创作 [丁红　杨彦彦　丁丁　编著]
20. HarmonyOS从入门到精通 [陈赵云　周永福　杨　浪]
21. 用英语发现世界：欧美文化篇 [李小丽　张薇　编著]
22. 大学体育教程 [戴显岩]
23. 新一代信息技术 [李佼辉 任雪冬]
24. 轨道交通类专门用途英语教程 [李德华主编 商晔副主编]
25. 建设工程项目团队知识异质性对团队绩效的影响研究 [胡可]
26. 新时代元阳梯田 云南现代化高原立体灌区 前世 今生 未来 [云南省水利水电勘测设计研究院 ]
27. 网络工程师章节习题与考点特训（适配第6版考纲） [夏杰 编著]
28. 零基础商业插画设计与AI表现 [主编　汤彦萱]
29. 电工与电子技术（第三版） [主编 王梅 唐翠微 杨晓珍]
30. 虚拟现实（VR）模型制作技术及应用 [主编　高文铭　祝海英]