复变函数与积分变换

讲解细致

全书系统地介绍了复变函数与积分变换的基本理论和方法

学练结合

每章内容配备适当练习题及答案，方便学生巩固相关知识

应用导向

本书强调理论的应用性，旨在应用数学知识解决实际问题

“复变函数与积分变换”是高等学校一门重要的数学基础课。它是自然科学与工程技术领域中常用的数学工具，也是学习工科各专业课的前置课程与必修课程。编写一本面向一般院校工科各专业本科生，符合课程体系需求、难度适中的教材是编者的期望。

本书是编者在从事通信工程专业“复变函数与积分变换”课程十余年教学实践的基础上，在工科数学教学基本要求的指导下，结合大学数学课程体系的改革要求，以培养学生数学素质为牵引，在参考众多优秀的中外教材的条件下编写而成的。本书具有以下特点：

（1）作为面向工科各专业本科生的教材，本书不刻意追求理论上的完整性，在定理的论证过程中以易于理解、追求知识体系的连贯性而非完备性为目标；采用平铺直叙的方式，不采用数学教材惯用的定理、推论加上证明的撰写方法，以叙述的方式引入命题，用加粗与下划线的方式突出定理与推论。用这种写作方法尽可能排除工科学生学习数学时的枯燥感。

（2）复变函数的连续性、导数、积分和级数，与高等数学中实变函数的连续性、导数、积分和级数是呼应的。本书在推导演绎的过程中结合高等数学所学内容加以展开：一方面帮助学生建立系统性的知识体系；另一方面通过对比、思考异同点，帮助、强化学生理解和掌握复变函数的相关理论。

（3）本书面向工科各个专业，在撰写积分变换章节的时候，采用工科专业熟悉的表述方式，比如用t表示自变量等；在说明积分变换应用的时候，采用了与专业相关的例子。通过这种方式，实现学生学习本课程与后继专业课程的衔接。

（4）本书的习题量大，且只提供了证明题与计算题，这为教师和学生提供了选择的余地。

总之，本书内容组织由浅入深、理论联系实际、理论体系完备、难度适中，适应了当前工科数学教学的需求。

本书在编写过程中得到了长沙学院各级领导的鼓励与支持，在此表示感谢！编者才疏学浅，书中难免存在错误与疏漏之处，恳切希望老师与同学们提出宝贵意见。

前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数的概念与运算 1
1.1.1 复数的代数表示 1
1.1.2 复数的几何表示 5
1.1.3 复球面和复数的矩阵表示法 13
1.2 复变函数 16
1.2.1 区域的概念 16
1.2.2 复变函数及其连续性 20
本章小结 28
练习 28
第2章 复变函数的导数 32
2.1 解析函数 32
2.1.1 复变函数的导数与微分 32
2.1.2 解析函数的定义与性质 35
2.1.3 解析函数与调和函数的关系 42
2.2 初等函数 46
2.2.1 复指数函数 47
2.2.2 复对数函数 48
2.2.3 一般幂函数与一般指数函数 51
2.2.4 复三角函数和复双曲函数 53
2.2.5 反三角函数与反双曲函数 58
本章小结 59
练习 60
第3章 复变函数的积分 64
3.1 复积分的定义与性质 64
3.1.1 复积分的定义 64
3.1.2 复积分的性质 67
3.1.3 复积分存在的条件 69
3.2 柯西积分定理 72
3.2.1 柯西-古萨定理 72
3.2.2 复合闭路定理 75
3.2.3 原函数 79
3.3 柯西积分公式及解析函数的高阶导数 81
3.3.1 柯西积分公式 82
3.3.2 解析函数的高阶导数 84
本章小结 86
练习 87
第4章 复变函数的级数表示 90
4.1 复数项级数 90
4.1.1 复数列的极限 90
4.1.2 复数项级数的概念 92
4.2 幂级数 94
4.2.1 幂级数的概念 95
4.2.2 幂级数的性质 98
4.3 泰勒级数 101
4.4 洛朗级数 105
本章小结 110
练习 111
第5章 留数及其应用 115
5.1 解析函数的孤立奇点 115
5.1.1 孤立奇点的定义与分类 115
5.1.2 复变函数的零点 118
5.1.3 复变函数在无穷远点的性态 120
5.2 留数 122
5.2.1 留数的概念 122
5.2.2 函数在极点处的留数 124
5.2.3 无穷远点的留数 127
5.3 留数在定积分计算中的应用 130
5.3.1 形如 的积分 130
5.3.2 形如 的积分 131
5.3.3 形如 的积分 132
本章小结 134
练习 134
第6章 保形映射 137
6.1 保形映射简介 137
6.1.1 保形映射的概念 137
6.1.2 保形映射的基本问题 141
6.2 分式线性映射 144
6.2.1 分式线性映射的分解 145
6.2.2 分式线性映射的保形性 148
6.2.3 分式线性映射的保圆性 149
6.2.4 分式线性映射的保对称性 150
6.2.5 唯一决定分式线性映射的条件 152
6.2.6 分式线性映射应用举例 154
6.3 初等函数的映射 158
6.3.1 复指数函数构成的映射 158
6.3.2 幂函数构成的映射 160
本章小结 161
练习 162
第7章 傅里叶变换 164
7.1 预备知识 164
7.1.1 单位脉冲函数 164
7.1.2 卷积 166
7.1.3 积分变换 168
7.2 傅里叶变换的概念与性质 170
7.2.1 傅里叶变换的定义 170
7.2.2 傅里叶变换的性质 173
7.2.3 傅里叶变换的应用 178
本章小结 180
练习 180
第8章 拉普拉斯变换 184
8.1 拉普拉斯变换的概念 184
8.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 185
8.1.2 拉普拉斯变换存在定理 187
8.1.3 拉普拉斯逆变换 189
8.2 拉普拉斯变换的性质 192
8.3 拉普拉斯变换的应用 199
本章小结 202
练习 203
附录1 傅里叶变换简表 207
附录2 拉普拉斯变换简表 210
参考文献 215

1. 控制器件（第三版） [主编　鲁兴举]
2. 人工智能与信息素养 [主编 吴华光 房宜汕]
3. 智能多媒体技术 [主编 陈萍 刘灵傲]
4. 云南异龙湖无机碳埋藏的近现代模式研究 [李平 著]
5. 基于多模态的人脸图像生成算法与关键技术 [罗晓东 著]
6. 应用型地方本科高校教师专业发展研究 [吴丽 著]
7. 高维数据特征筛选策略与算法 [陈念 著]
8. 外贸英语从入门到实战：53种实战场景秒变谈判高手 [张乐 廖熠 编著]
9. Linux系统管理（openEuler版） [主编 许兴鹍 黄君羡]
10. Python程序设计项目化教程（基于AI） [主编 禹晨 赵金考 王宏斌]
11. 可编程控制器应用项目化教程（三菱FX系列） [主编 姜文雍 李东方]
12. 全球英文电影精选：看电影学英文 [张颖　编译]
13. Python程序设计与网络爬虫 [黄海辉 彭新东]
14. 实体店创业分析实务 [燕艳 陈文冬 编著]
15. 中国对欧盟OFDI效率与风险的多维度实证评估—基于KK-SFA模型与PCF-聚类分析方法 [黄健钧 著]
16. 生成式人工智能素养 [邱有春　罗明全]
17. 系统分析师考试32小时通关（适配第2版考纲） [薛大龙　邹月平]
18. Ansys DesignModeler参数化特征建模与仿真指南 [蔡宜时 编著]
19. 浙江省山区县共富工坊建设的现状与对策 [徐骏骅 著]
20. 计算机网络技术及应用（第3版） [主编 刘永华 陈瑶]
21. 北京冬奥精神传承和发展研究 [顾春雨 邹新娴 等 著]
22. 汽车营销理论与实务（第三版） [主编 赵培全]
23. 人工智能基础与实践 [禹晨 赵金考 王宏斌 李璐]
24. 系统分析师5天修炼（适配第2版考纲） [施游 邹汉斌 黄少年 主编]
25. 线性代数（第二版） [惠小健 贺艳琴 夏斌湖]
26. 微控制器系统设计（STM32版） [主编 杨凌]
27. 机械原理与机械设计作业集（第二版） [主编 田亚平 李爱姣]
28. 高剑父的现代国画研究 [陈水兴　著]
29. 用英语介绍中国江河湖海 [庞彦杰　李静　赵娟　刘桂杰　编]
30. 大学生创新创业基础（第2版） [主编 姜国权 方邡]