高等数学（下册）

◆文字流畅，讲解透彻

◆内容合理，重点突出

◆由浅入深，便于理解

高等数学是近代数学的基础，是工科各专业的必修课，也是当代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程。

本书参照教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会最新的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》（2004，修订稿），根据新形势下教材改革的精神，由多位教师结合多年教学中积累的丰富经验共同编写而成。

为了便于学生自学，培养自主学习能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力和思维方式；调动创新意识，提高创造力，我们经过两年的反复研讨和修订，精心编写了本教材。本教材具有以下特点：

（1）便于自学。本书除了必不可少的理论证明，还运用大量的图形和实例进行说明，并利用二维码对部分知识进行拓展，加深学生对理论知识和概念的理解。

（2）符合学习规律。本书课后习题的设计由易到难，每道大题下有两道相近题目，旨在巩固每个知识点；课后习题配有二维码，学生可直接查看答案；每章配有在线测试模式的总测试题，可提高学生做题的效率。

（3）适用范围广。本书中带星号的部分为可选章节，能够满足不同专业学生的需要。

（4）思政元素充足。本书注重挖掘和凸显思政元素，以此提升学生的个人素养和职业道德规范。

（5）应用性强。本书注重数学理论在实际中的应用，更适用于应用型高等院校理工类的高等数学教学，能有效地提高学生的学习兴趣。

本书由秦红兵任主编，白莉、王炳涛和赵吉东任副主编，秦红兵任主审。具体分工如下：第8章由秦红兵编写，第9章由白莉编写，第10章、第11章由王炳涛编写，第12章由赵吉东编写。其中微视频的制作：第8章、第9章由白莉录制；第10章、第11章由王炳涛录制；第12章由赵吉东录制。

本书理论体系完整，逻辑清晰，语言通俗易懂，精选了例题与习题，方便学生理解、学习，可作为高等学校工科类学生的教材，也可作为其他专业学生的参考资料。

我们在编写本书过程中，得到了山东交通学院基础教学部领导的关心和支持，还得到了中国水利水电出版社编辑的大力协助，在此致以诚挚的谢意！

由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，恳请广大读者批评指正。

编者

2021年10月

第8章 空间解析几何与向量代数 1
8.1 空间直角坐标系 1
8.1.1 空间直角坐标系概念 1
8.1.2 空间中点的表示 2
8.1.3 空间中任意两点间的距离 3
习题8.1 5
8.2 向量及其运算 5
8.2.1 向量的概念 5
8.2.2 向量的线性运算 6
8.2.3 向量的坐标表示 7
8.2.4 两向量的数量积 11
8.2.5 两向量的向量积 13
习题8.2 15
8.3 平面及其方程 16
8.3.1 平面的点法式方程 16
8.3.2 平面的一般式方程 18
8.3.3 平面的截距式方程 19
8.3.4 两平面的夹角 20
习题8.3 22
8.4 空间直线及其方程 23
8.4.1 空间直线的一般式方程 23
8.4.2 空间直线的对称式方程 24
8.4.3 空间直线的参数式方程 25
8.4.4 两直线的夹角 26
8.4.5 直线与平面的夹角 27
8.4.6 平面束 29
习题8.4 30
8.5 空间曲面及其方程 31
8.5.1 球面及其方程 32
8.5.2 柱面 33
8.5.3 旋转曲面 35
8.5.4 二次曲面 38
习题8.5 42
8.6 空间曲线及其方程 42
8.6.1 空间曲线的一般式方程 42
8.6.2 空间曲线的参数式方程 44
8.6.3 空间曲线两种方程形式的互化 46
8.6.4 空间曲线在坐标面上的投影 46
习题8.6 49
第9章 多元函数微分法及其应用 50
9.1 多元函数的基本概念 50
9.1.1 平面点集和区域 50
9.1.2 多元函数的概念 53
9.1.3 二元函数的极限 55
9.1.4 二元函数的连续性 57
习题9.1 58
9.2 偏导数 59
9.2.1 偏导数的概念 59
9.2.2 偏导数的计算方法 61
9.2.3 二元函数偏导数的几何意义 62
9.2.4 偏导数与连续的关系 63
9.2.5 高阶偏导数 63
习题9.2 65
9.3 全微分 66
9.3.1 全微分的定义 66
9.3.2 全微分与连续、偏导数的关系 67
9.3.3 全微分的计算 69
9.3.4 全微分在近似计算中的应用 69
习题9.3 70
9.4 多元复合函数求导法则 71
9.4.1 二元函数与二元函数复合的求导法则 71
9.4.2 其他情形复合函数的求导法则 73
9.4.3 多元复合函数的高阶导数 75
9.4.4 全微分形式不变性 76
习题9.4 77
9.5 隐函数的求导公式 78
9.5.1 一元隐函数求导公式 79
9.5.2 二元隐函数求导公式 80
9.5.3 由方程组确定的隐函数组的求导公式 81
习题9.5 83
9.6 多元函数的极值及其求法 84
9.6.1 多元函数的极值 85
9.6.2 二元函数极值的判定 86
9.6.3 多元函数的最值 88
9.6.4 条件极值（拉格朗日乘数法） 90
习题9.6 92
9.7 多元函数微分学的几何应用 93
9.7.1 空间曲线的切线与法平面 93
9.7.2 曲面的切平面与法线 96
习题9.7 100
9.8 方向导数与梯度 100
9.8.1 方向导数 101
9.8.2 方向导数与偏导数的关系 102
9.8.3 梯度 104
习题9.8 107
第10章 重积分 108
10.1 二重积分的概念与性质 108
10.1.1 二重积分的概念 108
10.1.2 二重积分的性质 112
习题10.1 113
10.2 二重积分的计算 114
10.2.1 利用直角坐标计算二重积分 114
10.2.2 利用极坐标计算二重积分 120
习题10.2 124
10.3 三重积分的概念和计算 126
10.3.1 三重积分的概念 126
10.3.2 三重积分的计算 127
习题10.3 134
10.4 重积分的应用 134
10.4.1 立体的体积 134
10.4.2 曲面的面积 136
10.4.3 物体的质量 137
10.4.4 质心 138
10.4.5 转动惯量 140
习题10.4 141
第11章 曲线积分与曲面积分 142
11.1 对弧长的曲线积分 142
11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 142
11.1.2 对弧长的曲线积分的计算 144
习题11.1 146
11.2 对坐标的曲线积分 146
11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 146
11.2.2　对坐标的曲线积分的计算 149
11.2.3　两类曲线积分的联系 151
习题11.2 151
11.3 格林公式及其应用 152
11.3.1 格林公式 152
11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 154
习题11.3 157
11.4 对面积的曲面积分 158
11.4.1 对面积的曲面积分的概念 158
11.4.2 对面积的曲面积分的计算 159
习题11.4 161
11.5 对坐标的曲面积分 162
11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 162
11.5.2 对坐标的曲面积分的计算 165
习题11.5 167
11.6 高斯公式与斯托克斯公式 168
11.6.1 高斯公式 168
11.6.2 斯托克斯公式 169
习题11.6 171
第12章 无穷级数 172
12.1 常数项级数的概念和性质 172
12.1.1 常数项级数的概念 172
12.1.2 收敛级数的基本性质 174
习题12.1 175
12.2 正项级数及其审敛法 176
习题12.2 181
12.3 交错级数与任意项级数 182
12.3.1 交错级数 182
12.3.2 任意项级数与绝对收敛、条件收敛 184
习题12.3 186
12.4 幂级数 187
12.4.1 函数项级数的概念 187
12.4.2 幂级数及其收敛性 187
12.4.3 幂级数的性质 192
习题12.4 194
12.5 函数展开成幂级数 195
12.5.1 泰勒级数 195
12.5.2 麦克劳林级数 196
12.5.3 函数展开成幂级数 197
习题12.5 201
12.6 傅里叶级数 202
12.6.1 三角函数系 202
12.6.2 函数展开成傅里叶级数 203
12.6.3 正弦级数与余弦级数 208
12.6.4 一般周期函数的傅里叶级数 210
习题12.6 212
参考文献 214

1. Linux系统管理（openEuler版） [主编 许兴鹍 黄君羡]
2. Web前端开发从学到用完美实践 [阮晓龙 冯顺磊 编著]
3. 用英语讲中国故事（全视频 彩色版）上、下册 [主编　谢亮亮　汪洋]
4. 新时代大学生美育教育 [穆林 刘苍劲 彭圣芳]
5. 电子商务英语 [丁文毅 严慧]
6. 智能可穿戴项目化教程 [曾文波 陈赵云]
7. 视觉设计解析与实战教程 [姜春磊　杨晓]
8. 电子产品制图与制版案例教程 [邹莉莉　苏文斌　贺小艳]
9. 设计新维度：CMF元素与创新产品设计 [彭小鹏]
10. 园林树木识别与应用 [主编 张玉泉]
11. 文本信息处理与应用 [主编　何黎松　姚香秀]
12. 工业机器人编程及应用（第二版） [主编 向艳芳 胡月霞]
13. C语言程序设计（第二版） [主编 刘祖珉 赵仕波]
14. 数据分析与应用 [主编　孙伟　王兰芹]
15. Linux操作系统配置与管理项目化教程（第二版） [主编 白玉羚 刘金明 闫 淼]
16. Ansys SpaceClaim直接建模与仿真指南 [蔡宜时 编著]
17. 基于大数据的智慧农业管理平台关键技术研究与实践 [周永福 著]
18. 健美运动 [戴显岩]
19. Python程序开发基础（AI+微课版） [赵艳莉　曾鑫]
20. 大学生心理困境突围之路 [张珏 著]
21. 机器学习基础与实践 [主编　李晓峰　胥文婷　李云波]
22. 大模型应用实战 DeepSeek＋即梦AI＋剪映重塑创作 [丁红　杨彦彦　丁丁　编著]
23. HarmonyOS从入门到精通 [陈赵云　周永福　杨　浪]
24. 用英语发现世界：欧美文化篇 [李小丽　张薇　编著]
25. 大学体育教程 [戴显岩]
26. 新一代信息技术 [李佼辉 任雪冬]
27. 轨道交通类专门用途英语教程 [李德华主编 商晔副主编]
28. 建设工程项目团队知识异质性对团队绩效的影响研究 [胡可]
29. 新时代元阳梯田 云南现代化高原立体灌区 前世 今生 未来 [云南省水利水电勘测设计研究院 ]
30. 网络工程师章节习题与考点特训（适配第6版考纲） [夏杰 编著]