高等数学

本书基于重庆工商职业学院“互联网+”教学改革的成果，以李先明教授主编的《微积分基础》和刘彦辉副教授主编的《应用数学基础》为基础编写，内容主要以一元函数微积分为基础，为学生的文化传承和后续学习打下基础。

充分运用现代教育思想（形象思维、微元法思想、符号使用技巧等），重点突出知识的应用，引入数学建模思想及数学实验内容，为工程类与经济类的学生搭建学习高等数学的公共平台，成为学生掌握数学工具、构建自己的数学知识体系的良师益友。

该书结合内容的展示，提供多角度观察事物的方法，使读者从不同方向、不同层面、不同角度认识数学，观察事物，掌握数学原理、方法、应用数学知识的例证（原型）。

本书是在重庆工商职业学院大力发展“互联网+”教育改革的背景下编写而成的。2015年底，习近平总书记在贵州考察时提出了“供给侧结构改革”这一理念后，“供给侧改革”成为全国各行各业的热点和工作方向，教育行业也不例外。2016年民进中央提交了一份《关于深化教育供给侧结构性改革的提案》。随后，新华社、人民网等主流媒体都刊发了关于教育供给侧改革的专题文章。这些声音反映出了当前高等教育面临的主要问题是“学生和企业想要的教育我们没有，我们提供的教育他们觉得太单一。教育产品的提供与需求脱节。”

同样地，在高职的数学课程中也存在着类似的问题。高等数学在高职的大多数专业中，既是一门重要的文化素质通识课，又是一门必不可少的专业工具课，对学生的后续学习和数学思维的培养起着重要的作用。但是，由于近年来高职学生数学基础下滑、数学课程改革相对滞后，造成了学生不想学、专业责任教师不想开、数学教师不愿教的局面。这种局面与十八大以后国家对教育改革“公平、效率”的要求严重背离。从供需矛盾来分析的话，主要原因有以下两个方面：

（1）需求侧（学情）。一方面，随着数学和相关学科的发展，数学在各行各业中扮演着更加重要的角色，学生和专业责任教师也希望能够用相对容易的方法掌握尽可能多的数学知识。同时，随着“互联网+”浪潮的到来，学生对课程的内容和形式提出了更高的要求。

但是另一方面，当前的高职学生由于录取分数的降低，数学基础相对以前更为薄弱，学生对数学普遍有畏难情绪，不愿意学习和使用数学。专业责任教师和学校管理部门，根据学生的学习情况，也大多不愿开设数学课程，所以数学课程的学时被一减再减。

（2）供给侧（教情）。从教学目标上看，数学的培养目标与培养应用型人才还有差距，还普遍存在着重理论轻应用的现象；从教学内容上来看，数学课程还是主要以学科知识完整为主，没有充分体现“必须、够用、适度”的原则；从教学方法上看，老师大多毕业于数学专业，应用性视角不足，多以讲授证明和运算为主；从教学模式上看，主要采用自然班大班教学，与学生交流不足，难以做到“因材施教”；从评价方式上看，还是采用了一考定成绩的纸质考试，形式单一，难以调动学生的积极性。

总体来说，高职数学课程面临着三大主要问题：提高教学质量、给学生更丰富的选择和学生实际获得知识能力的提高。因此，在当前学情短时间内不可能改善的情况下，如何通过对数学课程“供给侧”的改革，让学生既具有一定的科学素养，又具有专业学习必须的应用能力，是摆在高职数学教育者面前的一个重要课题。

本教材内容主要以一元函数微积分为基础，为学生的文化传承和后续学习打下基础，根据专业特色由学生自选数学应用能力拓展模块，培养学生的应用水平和自学能力。其中的应用拓展模块，由老师根据学生的学习兴趣制定相关内容，通过学生小组探索完成。本教材是在重庆工商职业学院李先明教授和刘彦辉副教授以往教材的基础上进行编写的。刘彦辉副教授负责思想原则确立、内容设计、统稿和定稿工作。参加本书主要编写工作的有重庆工商职业学院的张静讲师、姚素芬讲师、赵润峰讲师、时耀敏讲师和四川工商职业技术学院的代雪莲讲师。本书内容主要包括函数的极限、函数的微分、函数的积分、常微分方程初步、无穷级数、线性代数、概率论、统计初步、MATLAB初步和数学实验。每章后面配有基本练习题，要求读者独立完成，题目答案可通过简单演算获得，也可通过数学实验的方法获得。另外，难度较大的题目已放入数学实验教学内容之中，习题难度按大专以上水平设计。

我们认为，高等职业教育已进入内涵建设阶段，数学课程教学改革任重道远，希望凭借此书吸引更多的同仁参与数学课程教育研究，推动我国高等职业教育更快地发展。

编 者

2017年10月

前言

第1章 无穷的意义——极限与连续 1
1.1 极限的几何特征 1
1.2 极限的四则运算 4
1.2.1 四则运算 4
1.2.2 应用举例 4
1.3 极限数学计算方法 5
1.3.1 型未定式极限的计算 5
1.3.2 型未定式极限的计算 6
1.3.3 两个重要极限 6
1.3.4 无穷大量与无穷小量 8
1.4 函数的连续性 9
1.5 极限的应用 11
习题1 12
第2章 切线与增量——导数与微分 15
2.1 函数导数的概念 17
2.1.1 曲线的切线 17
2.1.2 导数的概念 18
2.1.3 导数的基本公式 19
2.2 函数导数的数学计算方法 20
2.2.1 四则运算法则 20
2.2.2 复合函数求导法 21
2.2.3 隐函数求导法 22
2.2.4 函数的高阶导数 23
2.3 函数微分及计算方法 24
2.3.1 微分的概念 24
2.3.2 求函数的微分 24
2.4 函数微分的应用 25
2.4.1 泰勒公式及近似计算 25
2.4.2 中值定理与洛必达法则 27
2.4.3 初等函数形态研究 30
2.4.4 函数的最大（小）值 33
习题2 36
第3章 无限求和——函数的积分 39
3.1 不定积分的概念 39
3.1.1 原函数与不定积分 39
3.1.2 基本积分公式 41
3.1.3 公式应用举例 42
3.2 不定积分的数学计算 42
3.2.1 换元积分法 43
3.2.2 分部积分法 47
3.2.3 综合举例 49
3.3 定积分的概念 50
3.3.1 曲边梯形的面积与定积分 50
3.3.2 微积分基本定理 53
3.3.3 公式应用举例 55
3.4 定积分的数学计算 56
3.4.1 换元积分法 56
3.4.2 分部积分法 58
3.4.3 综合举例 58
3.5 定积分的应用 59
3.5.1 几何应用 59
3.5.2 物理应用 66
3.5.3 经济应用 67
习题3 69
第4章 收敛与发散——无穷级数 72
4.1 数项级数 72
4.1.1 数项级数的基本概念 72
4.1.2 求数项级数的和 72
4.1.3 数项级数的性质 73
4.1.4 正项级数收敛判别法 73
4.1.5 任意项级数 75
4.2 函数项级数 76
4.2.1 基本概念 76
4.2.2 幂级数 76
4.2.3 泰勒级数 77
4.2.4 傅立叶级数 80
4.2.5 傅氏变换与拉氏变换 84
习题4 86
第5章 种群增长的秘密——微分方程 88
5.1 常微分方程的基本概念 88
5.2 可分离变量的微分方程 89
5.3 一阶线性微分方程 90
5.4 二阶常系数线性微分方程 92
5.5 常微分方程应用 95
习题5 97
第6章 N维空间拓展——线性代数 99
6.1 矩阵的概念 99
6.1.1 矩阵的定义 99
6.1.2 常见的特殊矩阵 99
6.2 矩阵的运算 101
6.2.1 矩阵相等 101
6.2.2 矩阵的线性运算 101
6.2.3 矩阵的乘法 102
6.2.4 矩阵的转置 104
6.3 矩阵的初等行变换 105
6.3.1 矩阵的初等行变换 105
6.3.2 矩阵的秩及求法 105
6.4 方阵的逆矩阵 107
6.4.1 逆矩阵的定义 107
6.4.2 逆矩阵的初等行变换求法 108
6.5 线性方程组的基本概念 109
6.5.1 基本概念 109
6.5.2 线性方程组解的判定 110
6.6 高斯消元法 113
6.7 线性方程组的综合应用 116
习题6 119
第7章 探索博弈中的奥秘——概率论 122
7.1 随机事件 123
7.1.1 随机事件 123
7.1.2 事件间的关系与运算 123
7.2 随机事件的概率 124
7.2.1 随机事件概率的定义 124
7.2.2 概率的加法公式 125
7.2.3 乘法公式及条件概率 126
7.2.4 全概率与贝叶斯公式 127
7.3 贝努利概型 130
7.3.1 事件的独立性 130
7.3.2 贝努利概型 131
7.4 离散型随机变量 131
7.4.1 离散型随机变量的概率分布与分布
函数 131
7.4.2 几种重要的离散型随机变量 133
7.5 连续型随机变量的概率密度 134
7.5.1 连续型随机变量的概念与分布函数 135
7.5.2 几个常用的连续型随机变量的分布 136
7.6 随机变量的数学期望 138
7.6.1 离散型随机变量的数学期望 138
7.6.2 连续型随机变量的数学期望 139
7.6.3 数学期望的性质及矩 139
7.7 随机变量的方差 140
7.7.1 方差的概念 140
7.7.2 方差的性质 140
7.7.3 常见分布的期望与方差 140
习题7 141
第8章 数据会说话——数理统计初步 143
8.1 总体、样本、统计量 143
8.1.1 总体与样本 143
8.1.2 统计量 143
8.2 期望与方差的点估计 145
8.2.1 矩估计 145
8.2.2 极大似然估计 146
8.3 期望与方差的区间估计 147
8.4 最小二乘估计 148
8.5 几种常见的假设检验法则 149
8.5.1 假设检验的几个步骤 149
8.5.2 U检验法 150
8.5.3 T检验法 150
8.5.4 检验法 152
习题8 154
第9章 MATLAB简介 157
9.1 初识MATLAB 157
9.2 MATLAB集成环境 162
9.2.1 集成环境 162
9.2.2 主窗口 162
9.2.3 工作空间窗口 163
9.2.4 MATLAB帮助系统 164
9.3 MATLAB基本知识 164
9.3.1 基本运算符及表达式 164
9.3.2 MATLAB变量命名规则 165
9.3.3 数值计算结果的显示格式 165
9.3.4 MATLAB指令行中的标点符号 166
9.3.5 MATLAB指令窗的常用控制指令 166
9.3.6 数学函数 167
第10章 数学实验 168
实验一 MATLAB在极限中的应用 168
实验二 MATLAB在导数中的应用 170
实验三 MATLAB在积分中的应用 173
实验四 MATLAB在线性代数中的应用 177
一、数值矩阵的生成 177
二、符号矩阵的生成 178
三、特殊矩阵的生成 178
四、矩阵运算 180
五、矩阵分解 182
六、线性方程组的求解 184
附录 187
附表1 泊松分布数值表 187
附表2 标准正态分布函数值表 190
附表3 T分布的双侧临界值表 191
附表4 T分布的单侧临界值表 192
附表5 分布表 193
附表6 F分布表 195

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