高等数学（上册）

中国水利水电出版社

【作者】主编李爱芹胡雷尹金生

【I S B N 】978-7-5226-0751-1

【责任编辑】陈红华

【适用读者群】本专通用

【出版时间】2022-07-11

【开本】16开

【装帧信息】平装（光膜）

【版次】第1版第1次印刷

【页数】308

【千字数】356

【印张】19.25

【定价】￥49

【丛书】应用型本科高校建设示范教材

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本教材由山东交通学院高等数学教研室组织编写修订，参照教育部非数学专业数学基础课教学指导委员会新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，充分吸收高等数学课程教学实践和教学改革的成果。

本次编写修订对教材内容的深度和广度进行了适度调整，有利于服务专业课程，适应分层次教学的需要，难度适宜，注重应用，密切联系实际；调整充实习题的类型和数量，增强掌握运用数学工具解决实际问题的能力，提高学习效率与合格率。

本教材分上下两册，包括函数与极限、一元函数微积分学、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分学、无穷级数等内容。

本教材内容全面，结构严谨，详略得当，题量丰富，难易适度，注重数学知识的应用性，可作为普通高等院校“高等数学”课程的教材。

前言

人类社会的进步与数学这门基础学科的广泛应用是分不开的，尤其是现代社会，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域进一步拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛深入地渗透到了社会生活的各个领域。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，几乎无时无处不用到数学。

高等数学是由微积分学、代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的基础学科，是工科院校一门非常重要的基础课。在现阶段大学的大众化教育中，学生的数学基础参差不齐，面对高等数学高度抽象和逻辑严密的特点，普遍出现了“学不会，用不了”的尴尬局面。

本次教材编写修订针对大众化教育阶段出现的这种现实状况，以教育部非数学专业数学基础课教学指导委员会新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”为依据，结合当下教育部调整教育机构工作的主要思路，引导部分地方本科高校以社会需求为导向转型发展，本着“难度适宜，注重实用”的原则，确定了高等数学课程的内容框架和深度，以培养应用型人才为目标，将数学基本知识和实际应用有机地结合起来。“高等数学”这门课程不但为学生学习后续课程提供基础保障，而且在培养提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、综合分析能力等方面具有非常重要的作用。

本教材主要特点如下：

（1）充分体现基础应用型本科院校特色，根据工科各专业对数学知识的不同需求，本着“轻理论，重应用”的原则制定内容体系；在内容安排上由浅入深，循序渐进，与中学数学知识体系进行了科学合理的衔接。

（2）采用“发现问题－讨论问题－解决问题”的科学思路，引入概念时注意概念产生的实际背景，逐步展开知识点，激发学习兴趣，使学生思考问题能从实际出发，增强应用数学工具解决问题的意识和能力。

（3）例题和习题的选择本着学以致用的原则，难易适度、层次分明，各节均配有实际应用型习题，而且每章后配有总复习题，强化训练学生对本章知识点的综合应用能力。

（4）每章最后选编一位有杰出贡献的数学家的生平和事迹，让学生从中认识数学发展的基本过程，特别是学习数学家坚韧不拔追求和维护真理的科学精神，体现“榜样育人”的思想政治教学原则。

（5）本教材结构严谨、逻辑严密、语言准确、解析详细，内容突出理论的应用和方法的介绍，弱化抽象理论的解释，深度和广度适当，贴近教学实际，既便于教师教也便于学生学。

（6）本教材上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、常微分方程6章，下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数5章。

（7）附录Ⅰ汇总常见的三角函数公式，附录Ⅱ简单介绍二阶和三阶行列式，附录Ⅲ列举几种常见的曲线，附录Ⅳ积分表包含各种类型的不定积分结果，附录Ⅴ为习题答案与提示，供学生查阅参考。

本教材的主要编写修订人员为尹金生、刘吉晓、刘菲菲、李文婧、李爱芹、陈艳艳、胡雷（按姓氏笔画排序），具体分工如下：李文婧负责第1章至第4章，刘菲菲负责第5章和第6章，李爱芹负责第7章，陈艳艳负责第8章至第11章。

全书由尹金生、刘吉晓、胡雷审稿，由李爱芹统稿和定稿。在教材编写过程中，编者参考借鉴了国内外相关文献资料，采用黄玉娟和李爱芹主编版本的体系风格，同时得到诸多同事同行的帮助和指导，尤其是山东交通学院理学院各位领导和黄玉娟教授的鼎力支持，在此一并表示感谢。

限于编者水平，书中不足之处在所难免，恳请读者批评指正。

编者

2022年3月

前言

第1章函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数的概念 1
1.1.2 函数的几种特性 6
1.1.3 反函数与复合函数 8
1.1.4 初等函数 12
习题1.1 12
1.2 数列的极限 14
1.2.1 极限概念的引例 14
1.2.2 数列极限的定义 14
1.2.3 收敛数列的性质 17
习题1.2 19
1.3 函数的极限 20
1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的
极限 20
1.3.2 自变量趋于有限值时函数的
极限 21
1.3.3 函数极限的性质 24
习题1.3 24
1.4 无穷小与无穷大 25
1.4.1 无穷小 25
1.4.2 无穷大 27
1.4.3 无穷小与无穷大的关系 28
习题1.4 28
1.5 极限的运算法则 29
1.5.1 极限的四则运算法则 29
1.5.2 复合函数极限的运算法则 33
习题1.5 34
1.6 极限存在准则两个重要极限 34
1.6.1 夹逼准则 35
1.6.2 单调有界收敛准则 37
习题1.6 39
1.7 无穷小的比较 40
习题1.7 43
1.8 函数的连续性与间断点 44
1.8.1 函数的连续性 44
1.8.2 函数的间断点 46
1.8.3 连续函数的运算法则 48
1.8.4 初等函数的连续性 49
习题1.8 52
1.9 闭区间上连续函数的性质 52
1.9.1 最大值与最小值定理及有
界性定理 53
1.9.2 零点定理与介值定理 54
习题1.9 55
复习题1 56
数学家简介—刘徽 58
第2章导数与微分 59
2.1 导数 59
2.1.1 引例 59
2.1.2 导数的概念 60
2.1.3 导数的几何意义 64
2.1.4 函数的可导性与连续性的
关系 65
习题2.1 65
2.2 函数的求导法则 66
2.2.1 函数的和、差、积、商的
求导法则 66
2.2.2 复合函数的求导法则 68
2.2.3 反函数的求导法则 69
2.2.4 初等函数的导数 70
习题2.2 71
2.3 高阶导数 72
2.3.1 高阶导数的概念 72
2.3.2 高阶导数的运算法则 75
习题2.3 76
2.4 隐函数及由参数方程所确定的
函数的导数 76
2.4.1 隐函数的导数 76
2.4.2 由参数方程所确定的函数的
导数 78
习题2.4 80
2.5 函数的微分 81
2.5.1 微分的概念 81
2.5.2 微分的几何意义 83
2.5.3 基本初等函数的微分公式
与微分运算法则 84
2.5.4 微分在近似计算中的应用 86
习题2.5 87
复习题2 87
数学家简介—祖冲之 89
第3章微分中值定理与导数的应用 91
3.1 微分中值定理 91
3.1.1 罗尔（Rolle）定理 91
3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值
定理 92
*3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 94
习题3.1 95
3.2 洛必达（L’hospital）法则 95
3.2.1 型未定式 96
3.2.2 型未定式 97
3.2.3 其他类型未定式 98
习题3.2 99
*3.3 泰勒公式 100
3.3.1 泰勒（Taylor）中值定理 101
3.3.2 几个重要初等函数的麦克
劳林公式 102
习题3.3 105
3.4 函数的单调性与极值 105
3.4.1 函数的单调性 105
3.4.2 函数的极值 109
习题3.4 112
3.5 函数的最大值与最小值及其
应用 112
习题3.5 116
3.6 曲线的凹凸性与拐点函数
图形的描绘 116
3.6.1 曲线的凹凸性与拐点 116
3.6.2 函数图形的描绘 119
习题3.6 121
3.7 曲率 122
3.7.1 曲线的曲率 122
3.7.2 曲率圆与曲率半径 126
习题3.7 127
复习题3 128
数学家简介—杨辉 129
第4章不定积分 131
4.1 不定积分的概念与性质 131
4.1.1 原函数与不定积分的概念 131
4.1.2 不定积分的几何意义 134
4.1.3 不定积分的性质 134
4.1.4 基本积分公式 135
习题4.1 137
4.2 换元积分法 138
4.2.1 第一类换元积分法 138
4.2.2 第二类换元积分法 143
习题4.2 148
4.3 分部积分法 149
习题4.3 153
*4.4 有理函数的积分 153
4.4.1 有理函数的积分 154
4.4.2 三角函数有理式的积分 158
习题4.4 160
复习题4 160
数学家简介—苏步青 162
第5章定积分及其应用 164
5.1 定积分的概念与性质 164
5.1.1 引例 164
5.1.2 定积分的定义 167
5.1.3 定积分的几何意义 168
5.1.4 定积分的性质 169
习题5.1 171
5.2 微积分基本公式 172
5.2.1 积分上限的函数及其导数 173
5.2.2 牛顿－莱布尼茨公式 175
习题5.2 177
5.3 定积分的换元法和分部积分法 178
5.3.1 定积分的换元法 179
5.3.2 定积分的分部积分法 182
习题5.3 184
5.4 反常积分 186
5.4.1 无穷限的反常积分 186
5.4.2 无界函数的反常积分 188
*5.4.3 函数 190
习题5.4 192
5.5 定积分的元素法及其在几何学
上的应用 193
5.5.1 定积分的元素法 193
5.5.2 定积分在几何学上的应用
——平面图形的面积 194
5.5.3 定积分在几何学上的应用
——体积与弧长 201
习题5.5 207
5.6 定积分的元素法在物理学上的
应用 208
5.6.1 变力沿直线所做的功 208
5.6.2 水的侧压力 210
习题5.6 211
复习题5 212
数学家简介—莱布尼茨 214
第6章常微分方程 217
6.1 微分方程的基本概念 217
6.1.1 引例 217
6.1.2 微分方程的概念 218
习题6.1 220
6.2 可分离变量的微分方程 220
6.2.1 可分离变量的微分方程 221
6.2.2 可化为可分离变量微分
方程的微分方程 223
习题6.2 227
6.3 一阶线性微分方程 228
习题6.3 232
*6.4 可降阶的二阶微分方程 233
6.4.1 型的微分方程 233
6.4.2 型的微分方程 235
6.4.3 型的微分方程 236
习题6.4 239
6.5 二阶常系数齐次线性微分方程 239
6.5.1 二阶常系数齐次线性微分
方程解的结构 240
6.5.2 二阶常系数齐次线性微分
方程的解法 241
习题6.5 245
6.6 二阶常系数非齐次线性微分
方程 245
习题6.6 253
复习题6 253
数学家简介——华罗庚 254
参考文献 256
附录Ⅰ 常见三角函数公式 258
附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介 260
附录Ⅲ 几种常见曲线 263
附录Ⅳ 积分表 267
附录Ⅴ 习题答案与提示 277

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