高等数学（上册）

体现应用型本科院校特色，根据理工科各专业对数学知识的需求，本着“轻理论、重应用”的原则制定内容体系。

内容安排由浅入深，合理地衔接中学数学知识。采用提出问题—讨论问题—解决问题的思路，逐步展开知识点，从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，同时增强学生应用数学工具解决实际问题的意识和能力。

例题和习题的选择上难易适度、层次分明，大部分章节都配有实际应用问题，并在每一章后面配有总复习题，主要是用于锻炼学生对本章知识点的综合应用能力。

我国高等教育从上世纪九十年代末实行由精英教育向大众化教育的过渡，历经近二十年的历程，教育规模不断扩张，给我国的高等教育带来了一系列的变化、问题与挑战，同时也冲击着高等数学课程在大学阶段的教育问题。传统的高等数学课程的特点是逻辑严密、理论抽象、实际应用少，在大众教育阶段，招收学生的数学基础参差不齐，导致大量学生学习起来感到跨度大，内容过于抽象，从而造成“学不会、用不了”的状况。而对于高等院校的理工科类学生来讲，高等数学课程是一门非常重要的基础课程，它理论严谨，应用广泛，不仅为学生学习专业课和后续课程提供基础保障，同时在培养学生抽象思维、逻辑思维能力，综合分析问题能力等方面都具有非常重要的作用。

本书面对大众化教育阶段的现实局面，以教育部非数学专业数学基础课教学指导分委员会制定的新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”为依据，迎合当下教育部调整教育机构的主要思路——引导部分地方本科高校以社会需求为导向转型发展，本着“难度降低、注重实用”的原则确定高等数学的内容框架和深度。本书的编写者具有多年丰富的教学实践经验，在编写时，以培养应用型人才为目标，将数学基本知识和实际应用有机结合起来。

本书主要有以下几个特点：

（1）体现应用型本科院校特色，根据理工科各专业对数学知识的需求，本着“轻理论、重应用”的原则制定内容体系。

（2）在内容安排上由浅入深，与中学数学进行了合理的衔接。在引入概念时，注意了概念产生的实际背景，采用提出问题－讨论问题－解决问题的思路，逐步展开知识点，使得学生能够从实际问题出发，激发学习兴趣，同时增强学生应用数学工具解决实际问题的意识和能力。

（3）例题和习题的选择上难易适度、层次分明，大部分章节都配有实际应用问题，并在每一章后面配有总复习题，主要是用于锻炼学生对本章知识点的综合应用能力。

（4）每一章最后附加了历史上有杰出贡献的数学家简介。通过了解数学家生平和事迹，可以让学生真正了解数学发展的基本过程，而且能让学生学习数学家坚忍不拔的追求真理和维护真理的科学精神。

（5）本书结构严谨，逻辑严密，语言准确，解析详细，易于学生阅读。弱化抽象理论的介绍，突出理论的应用和方法的介绍，内容深广度适当，使得内容贴近教学实际，便于教师教与学生学。本书分上、下册，包括函数的极限，一元函数微积分学，微分方程，空间解析几何与向量代数，多元函数微积分学，无穷级数等内容。

（6）为了能更好的与中学数学衔接，在附录I中对三角函数的常用公式做了全面总结，并在附录II、III、IV中分别介绍了二阶、三阶行列式、各种类型的不定积分公式、常用的一些平面曲线及其图形，供需要的学生查阅参考。

本书适合于普通应用型本科院校理工类各专业学生使用，也可作为研究生入学考试参考。

参加本教材编写的有黄玉娟（第1、5章），李爱芹（第3章），曹海军（第10章），刘吉晓（第11章），王海棠（第2章），董爱君（第4章），孙光辉（第6章），廉立芳（第7章），刘菲菲（第8章），李文婧（第9章）。全书由黄玉娟、李爱芹统稿，多次修改定稿。最后由尹金生副教授为本教材审稿。在编写过程中，参考和借鉴了许多国内外有关文献资料，并得到了很多同行的帮助和指导，在此对所有关心支持本书编写、修改工作的教师表示衷心的感谢。

限于编写水平，书中难免有错误和不足之处，殷切希望广大读者批评指正。

编 者

2014年3月

前言
第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 函数 4
习题1.1 12
1.2 数列的极限 14
1.2.1 引例 14
1.2.2 数列极限的概念 14
1.2.3 收敛数列的性质 17
习题1.2 19
1.3 函数的极限 20
1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 20
1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 22
1.3.3 函数极限的性质 24
习题1.3 25
1.4 无穷小与无穷大 26
1.4.1 无穷小 26
1.4.2 无穷大 27
1.4.3 无穷小与无穷大的关系 29
习题1.4 29
1.5 极限的运算法则 29
1.5.1 极限的四则运算法则 30
1.5.2 复合函数极限的运算法则 33
习题1.5 34
1.6 极限存在准则 两个重要极限 35
1.6.1 夹逼准则 35
1.6.2 单调有界收敛准则 37
习题1.6 39
1.7 无穷小的比较 40
习题1.7 43
1.8 函数的连续性与间断点 43
1.8.1 函数的连续性 43
1.8.2 函数的间断点 45
1.8.3 连续函数的运算法则 47
1.8.4 初等函数的连续性 48
习题1.8 50
1.9 闭区间上连续函数的性质 51
1.9.1 最大值与最小值定理及有界性定理 51
1.9.2 零点定理与介值定理 52
习题1.9 53
复习题1 54
数学家简介——刘徽 56
第2章 导数与微分 57
2.1 导数的概念 57
2.1.1 导数概念的引例 57
2.1.2 导数的概念 58
2.1.3 导数的几何意义 61
2.1.4 可导与连续的关系 62
习题2.1 63
2.2 函数的求导法则 63
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 64
2.2.2　复合函数的导数 65
2.2.3 反函数的求导法则 66
2.2.4 初等函数的导数 67
习题2.2 69
2.3 高阶导数 70
2.3.1 高阶导数的概念 70
2.3.2　高阶导数的运算法则 72
习题2.3 73
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 74
2.4.1 隐函数的导数 74
2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 76
习题2.4 77
2.5 函数的微分 78
2.5.1 微分的概念 78
2.5.2 微分的几何意义 80
2.5.3 微分的基本公式与微分法则 81
2.5.4 微分在近似计算中的应用 82
习题2.5 83
复习题2 84
数学家简介——牛顿 86
第3章 微分中值定理与导数的应用 88
3.1 微分中值定理 88
3.1.1 罗尔（Rolle）定理 88
3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 89
* 3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 91
习题3.1 91
3.2 洛必达（L’hospital）法则 92
3.2.1 型未定式 92
3.2.2 型未定式 94
3.2.3 其他类型未定式 95
习题3.2 96
3.3 函数的单调性与极值 97
3.3.1 函数的单调性 97
3.3.2 函数的极值 100
习题3.3 102
3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘 103
3.4.1 曲线的凹凸性 103
3.4.2 函数图形的描绘 106
习题3.4 107
3.5 函数的最大值与最小值及其应用 108
习题3.5 111
3.6 曲率 111
3.6.1 曲线的曲率 111
3.6.2 曲率圆与曲率半径 114
习题3.6 115
复习题3 115
数学家简介——布鲁克•泰勒 117
第4章 不定积分 118
4.1 不定积分的概念与性质 118
4.1.1 原函数与不定积分概念 118
4.1.2 不定积分的几何意义 120
4.1.3 不定积分的性质 121
4.1.4 基本积分公式 122
习题4.1 124
4.2 换元积分法 124
4.2.1 第一类换元积分法 125
4.2.2 第二类换元积分法 130
习题4.2 136
4.3 分部积分法 137
习题4.3 140
复习题4 141
数学家简介——柯西 143
第5章 定积分及其应用 145
5.1 定积分的概念与性质 145
5.1.1 引例 145
5.1.2 定积分的定义 147
5.1.3 定积分的几何意义 149
5.1.4 定积分的性质 150
习题5.1 152
5.2 微积分基本公式 153
5.2.1 积分上限函数及其导数 153
5.2.2 牛顿–莱布尼茨公式 156
习题5.2 158
5.3 定积分的换元法和分部积分法 159
5.3.1 定积分的换元法 159
5.3.2 定积分的分部积分法 163
习题5.3 165
5.4 反常积分 166
5.4.1 无穷限的反常积分 166
5.4.2 无界函数的反常积分 168
5.4.3 G–函数 170
习题5.4 172
5.5 定积分的元素法及其在几何学上的应用 173
5.5.1 定积分的元素法 173
5.5.2 定积分在几何学上的应用——平面图形的面积 174
5.5.3 定积分在几何学上的应用——体积与弧长 180
习题5.5 186
5.6 定积分的元素法在物理学上的应用 187
5.6.1 变力沿直线所做的功 187
5.6.2 水压力 189
习题5.6 190
复习题5 190
数学家简介——莱布尼茨 193
第6章 常微分方程 195
6.1 微分方程的基本概念 195
6.1.1 引例 195
6.1.2 微分方程的概念 196
习题6.1 197
6.2 可分离变量的微分方程 198
6.2.1 可分离变量的微分方程 198
6.2.2 可化为可分离变量微分方程的微分方程 200
习题6.2 204
6.3 一阶线性微分方程 204
习题6.3 208
6.4 可降阶的二阶微分方程 209
6.4.1 型的微分方程 209
6.4.2 型的微分方程 211
6.4.3 型的微分方程 212
习题6.4 214
6.5 二阶常系数齐次线性微分方程 215
习题6.5 220
6.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 220
习题6.6 227
复习题6 228
数学家简介——约翰•伯努利 229
附录Ⅰ 常见三角函数公式 231
附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介 233
附录Ⅲ 几种常见的曲线 236
附录Ⅳ 积分表 240
习题答案与提示 250
参考文献 271

1. 实用运筹学 [主编　邢育红　于晋臣]
2. 电子技术（第二版） [主编 覃爱娜 李飞]
3. 劳动争议处理实务 [主编 王秀卿 罗静]
4. 语音识别理论与实践 [主编　莫宏伟]
5. 武术基础教程 [主编 李代勇 谢志民]
6. 画法几何与机械制图习题集（多学时） [主编 赵军]
7. 机械设计基础（第二版） [主编 田亚平 李爱姣]
8. 画法几何与机械制图 [主编 赵军]
9. C语言程序设计习题与实验指导（第二版） [主编 甄增荣 张宾]
10. C语言程序设计（第二版） [主编 甄增荣 田云霞]
11. Unity3D虚拟现实应用开发实践 [主 编 刘龙]
12. 面向对象程序设计 [主编 张勇 张平华 赵小龙]
13. 网络营销 [主编 夏薇薇 刘婷 尚洁]
14. 数据库技术与应用实践教程（SQL Server 2019） [主 编 严晖 周肆清]
15. 功能材料制备与表征实验指导书 [龚伟平 赵军峰 梅海娟 等编著]
16. 信号与系统（第二版） [主编 张宇]
17. Python 语言程序设计实践指导 [主编　张双狮]
18. 体育舞蹈教程 [主编 刘伟 陈志明 曾明]
19. 线性代数导学篇 [主编 史昱]
20. 信息技术基础实训与习题指导（Windows7+Office2016） [主编 周金容 唐天国]
21. 高等数学导学篇（下册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
22. 高等数学导学篇（上册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
23. 高等数学（下册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
24. 高等数学（上册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
25. 中华水文化（慕课版）（第二版） [毕雪燕 杨华轲 罗玲谊 等编著]
26. 电路与电子技术Ⅱ——电路分析基础 [主编 陈晓 金哲]
27. Spark大数据处理技术 [主编　刘仁山　周洪翠　庄新妍]
28. 高等数学（下册） [秦红兵]
29. 人工智能算法与实践 [主编　梁琨　张翼英]
30. 数据清洗 [黄源　刘智杨　孙大松]