高等数学课程改革与实践

中国水利水电出版社

【作者】李先明

【I S B N 】978-7-5084-9299-5

【责任编辑】杨元泓

【适用读者群】本专通用

【出版时间】2012-01-05

【开本】16开

【装帧信息】平装（光膜）

【版次】第1版第1次印刷

【页数】220

【千字数】246

【印张】13.75

【定价】￥26

【丛书】

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本书是作者对自己二十五年来“高等数学”课程教学改革实践的反思，大部分内容在公开刊物上发表过，部分内容是近几年的研究成果。内容包括高等数学课程改革与实践、微积分学教学活动分析、函数极限理论教学方法研究、概率统计的教学方法及原则、高等数学应用教学案例、数学实验教学改革与实践、微分学中的微分几何研究、格林及高斯公式应用研究、矩阵的初等行变换及其应用、基于AHP和FCE的高等数学实验教学质量综合评价10个部分。

该书全面介绍了作者就高等数学课程设计、如何实现教与学的目的、重点内容的教学方法、难点内容的处理方法、知识领域拓展、以及试验教学质量评价等课程教学改革实践成果。无论对新教师或者老教师，都极具使用和参考价值。

前言

高等数学课程是理工科、经济类各专业开设的基础理论课程（专科院校开设两学期，本科院校开设三至四个学期）。学生掌握的程度，直接或间接影响后继课程的学习，直接或间接影响培养人才的质量。

在实际教学过程中，我们发现教材所要求的内容与后继课程所要求的数学知识相差甚远，理论与实际脱节，学生学习目的不明确，很难实现从以教师为中心的学习方式到以学生为中心的学习方式的转化，很难达到培养创新人才的要求。

为了适应现代教育教学形势，教师必须在教学思想、学习理论、技术更新、教学设计、教学策略等方面形成自己的特色。应重视课程重构，既要注重“教”的一面，又要注重“学”的一面，还要注重“创造”的一面。既要考虑专业学生的技能培养要求，又要考虑学生的实际承受力，还要让学生感受到学习的意义和喜悦。在我三十多年的学习和教学过程中，课程始终是“专家的课程”，教材始终是“公共框架”。数学作为一种文化、学习其他知识的平台、对学习者实施逻辑思维训练的载体、开展数学美学教育等，其作用是显然的。教师应根据自己对专业学生的技能要求和自己的学习、学科和教学研究成果，把“专家课程”、“公共框架”转换为“教师的课程”，形成特色鲜明、个性化强的教育教学空间和实践情景。

高等数学课程改革与实践。展示的是著者三十多年高等数学课程教学改革的实践历程和最终成果，提出了基于高职高专高等数学课程的设计思想、内容设置、教学方法与手段，以及教学评价方法等，对参与高等数学教学和研究的同仁来说极具参考价值。

微积分学教学活动分析。展示的是微积分学教学活动中如何实现教与学的目的方法。著者提出，要实现教与学的目的，教师应根据学生的心理特征和微积分学的认识结构，创造教学情境、充分运用对比方法及现代创造技法等教学方法，使学生在活动中提高自我控制，共同参与到问题性情境中去，达到对同一认识结构的共识。

函数极限理论教学方法研究。著者直观形象或表象地来思考极限理论，通过类比差异来反映客体的表面共性或相似性，从而揭示极限理论的本质，避免了在极限概念的处理上的过分形式化，使在讲解微积分之前的“大块头”极限论变成“小块头”极限论。

概率统计的教学方法及原则。展示的是在目前教学面临的形势下从教学方法的角度阐明提高概率统计教学质量的方法，即抓好基本概念、技能和技巧的教学；适当介绍概率统计的广泛应用，激发学生对该门课程的学习兴趣，变学生的依赖性为学生的自觉性和能动性，提升学生的就业水平，实现概率统计课程教学的目的。

高等数学应用教学案例。展示了著者在高等数学教学中使用的案例。有些学生包括老师经常提出一个问题：“学习高等数学有何用？”那么，请你学学这些案例，也许会使你的眼界更加开阔。

数学实验教学改革与实践。传统的方法解数学题可能使你厌倦，来试试用数学软件解数学题，也许你从此就喜欢上了数学这门课程，也许你在今后的工作中无意间就为老板解决了一个难题。这也是我们要在高等数学课程中增加数学实验内容的根本原因。

微分学中的微分几何研究。在微分学中，几何学的内容几乎成了解释数学概念的最重要的内容，因此如何教学生掌握微分学中的几何学内容就显得十分重要。正确认识曲线、曲面，展示运用微分知识去研究曲线、曲面形态的方法是著者的出发点。

格林、高斯公式应用研究。通过对两个公式的拓展研究，说明高等数学课程不仅是学习专业课程的基础，而且自身具有广阔的应用空间和丰富的内涵。

矩阵的初等行变换及其应用。线性代数最核心的内容是什么，那就是矩阵的初等行变换。求矩阵的秩、求矩阵的逆矩阵、求解线性方程组等，哪一样都离不开它。教会学生使用好矩阵的初等行变换是教师教学的重点。

基于AHP和FCE的高等数学实验教学质量综合评价。传统的高等数学采用的是理论式教学，几乎没有实验教学，随着教学改革的不断深入，教学工作者逐渐意识到数学的理论和实践是密不可分的，只有把两者结合起来，才能真正实现用数学理论解决实际问题。每年的全国大学生数学建模竞赛就是数学理论与实践的结合。如何评价高等数学实验教学质量是作者的本意。

据我所知，到目前为止，还没有一本关于研究数学教学方法的书，年轻的教师只能靠自己的实践慢慢成熟起来，以致数学课程改革难以推进。我想，作为讲授数学课程三十多年的老教师，总该给年轻教师留点什么。于是，我开始整理自己的教学教案、教学笔记，修订自己已发表过的论文、课题报告等，用以集结成本书。

本书就高等数学课程设计、如何实现教与学的目的、重点内容的教学方法、难点内容的处理方法、知识领域拓展，以及实验教学质量评价等进行了全面的研究和分析，无论对新教师还是老教师，都极具使用和参考价值。希望该书的出版能引领高等数学课程改革向更深层次推进。

李先明

2011年12月

第1章高等数学课程改革与实践 1
1.1 课程改革三阶段 1
1.2 课程设计思想 3
1.3 教学方法与手段 5
1.4 教学队伍建设 6
1.5 实践条件 7
1.6 教学效果分析 8
1.7 课程特色 9
第2章微积分学教学活动分析 10
2.1 教学情境的产生和形成途径 10
2.2 诱导性教学 16
2.3 教学活动中对比方法的充分运用 16
2.3.1 几种极限的比较 16
2.3.2 极限与连续的比较 19
2.3.3 导数与微分的比较 20
2.3.4 不定积分与定积分的比较 20
2.3.5 定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的比较 21
2.3.6 计算方法之间的比较 23
2.4 教学活动中现代创造技能的充分运用 25
2.5 微分学中的辩证法 30
2.5.1 马克思关于导函数概念的辩证唯物主义分析 30
2.5.2 用符号代替的必要性和重要性 32
2.5.3 代数方法向微分方法的转化和微分的概念 33
第3章概率统计的教学方法及原则 36
3.1 概率部分的教学原则 37
3.1.1 抓好概念比较教学 37
3.1.2 抓好解题技能和技巧方面的教学 37
3.2 数理统计部分的教学原则 48
3.2.1 数理统计有关概念 48
3.2.2 准确理解重要概念 49
3.2.3 参数的区间估计和假设检验两种方法的应用 50
3.3 培养学生学习概率统计兴趣的途径 51
3.3.1 在失效条件下——系统的统计特征 51
3.3.2 随机变量可能值（事件的可能结果）的不肯定性的度量——熵（entropy） 52
3.3.3 连续检查决策系统——统计模型 54
3.4 典型例题分析 59
第4章函数极限理论教学方法研究 63
4.1 极限概念及性质的教学方法 63
4.2 函数极限的性质 66
4.3 整变量函数极限的计算 67
4.4 一般函数极限的计算 67
4.5 两个重要极限 68
4.6 洛必达法则及应用 70
第5章高等数学应用教学案例 72
5.1 零点定理的应用 72
5.2 重要极限的应用 73
5.3 导数概念的应用 75
5.4 极值应用问题 75
5.5 定积分的应用 82
5.5.1 几何应用 82
5.5.2 物理应用 90
5.5.3 经济应用 94
5.5.4 电学应用 96
5.6 常微分方程应用 99
5.7 重积分应用问题 101
5.8 级数应用问题 102
第6章数学实验教学改革与实践 106
6.1 数学实验教学改革与实践情况 106
6.1.1 实验考核的方式 106
6.1.2 微积分机考样题 107
6.2 MATLAB简介 111
6.3 MATLAB 6.5集成环境 112
6.3.1 MATLAB主窗口 112
6.3.2 工作空间窗口 113
6.3.3 MATLAB帮助系统 114
6.3.4 MATLAB变量命名规则 115
6.3.5 数值计算结果的显示格式 115
6.3.6 MATLAB指令行中的标点符号 115
6.3.7 MATLAB指令窗的常用控制指令 116
6.3.8 MATLAB中的函数 116
6.4 求极限 119
6.5 求导数 120
6.6 求积分 122
6.7 求常微分方程（组）的解析解 123
6.8 求函数的Taylor级数 124
6.9 矩阵运算 125
6.10 解线性方程组 127
6.11 统计与检验 130
6.11.1 数据统计处理 130
6.11.2 求离散随机变量的数学期望 131
6.11.3 求离散型随机变量的样本方差 132
6.11.4 常见分布的密度函数图形 132
6.11.5 正态分布的参数估计 136
6.11.6 已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U检验法） 136
6.11.7 未知，单个正态总体的均值μ的假设检验（t检验法） 137
6.11.8 两个正态总体均值差的检验（T检验） 138
第7章微分学中的微分几何研究 140
7.1 一般曲线的认识 140
7.2 直线方程的推演 141
7.3 曲线切线方程的建立 141
7.4 曲线的性态讨论 143
7.4.1 曲线的曲率与挠率 143
7.4.2 有关定理 145
7.4.3 曲线的曲率与挠率计算 146
7.4.4 平面曲线的单调性及极值 147
7.4.5 平面曲线的凹凸性及拐点 148
7.5 数量场与向量场 150
7.6 方向导数和梯度 151
7.6.1 方向导数 151
7.6.2 梯度 152
第8章格林、高斯公式应用研究 154
8.1 两个引理 154
8.2 理论应用分析 154
8.3 斯托克斯公式与无旋场 156
8.4 对调和函数的研究 157
8.5 黎曼公式 160
8.6 阿基米德定律 161
8.7 关于波动方程的解 161
8.8 散度概念 163
8.9 热传导方程 163
第9章矩阵的初等行变换及其应用 164
9.1 矩阵的初等行变换 164
9.2 矩阵的秩及求法 165
9.3 方阵的逆矩阵及求法 167
9.4 线性方程组及其求解 169
9.4.1 基本概念 169
9.4.2 线性方程组解的判定 171
9.4.3 高斯消元法 174
9.4.4 基础解系及通解 178
9.5 典型例题分析 181
第10章基于AHP和FCE的高等数学实验教学质量综合评价 186
10.1 引言 186
10.2 指标体系的建立[1]- [2] 186
10.3 综合评价模型[3] 187
10.3.1 建立因素集和评价集 187
10.3.2 确定评价因素的权重 187
10.3.3 模糊综合评价 188
10.4 举例分析 188
10.5 结束语 189
附录1 高等数学课程标准 190
附录2 工程数学课程标准 202
参考文献 208

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