高等数学

本书基于编者多年教学所使用的讲义编写，多数内容都曾在本科教学中进行过试讲。此次出版时，编者对讲义做了全面的整理和较大的扩充。

近年来，我国高等教育逐渐从精英教育过渡到大众化教育，编者在编写本书的时候注意到了新时代学生的特点，适应了新的社会要求，在追求逻辑的严密性和理论体系的完整性基础之上，更加注重了理论与实践相结合，注重了概念、原理和范例的融合，做到让教师更容易讲解，学生更容易理解。

本书包括函数、极限、连续、一元函数微积分学以及常微分方程。本书可作为本科理工类和财经类各专业的通用教材，也可以作为其他专业的参考资料。

本书由朱福臣任主编，李继连、鲁炎夏、付晶任副主编。其中第1章“函数与极限”由徐新荣编写，第2章“导数与微分”由鲁炎夏编写，第3章“微分中值定理与导数的应用”和第6章“常微分方程初步”由李继连编写，第4章“不定积分”及习题参考答案由付晶编写，第5章“定积分及其应用”由张静编写。

本书由周洪玉主审，审稿同志认真阅读了全稿，并提出了不少宝贵的改进意见，我们对此表示衷心的感谢。

由于我们水平有限，编写时间又较匆促，一定还存在不少缺点和错误，殷切期待读者给予批评指正，以祈不断改进完善。

编 者

2012年11月

前言
第1章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 函数 3
习题1.1 15
1.2 数列的极限 17
1.2.1 数列极限的概念 17
1.2.2 收敛数列的性质 20
习题1.2 22
1.3 函数的极限 22
1.3.1 时函数的极限 22
1.3.2 时函数 的极限 24
1.3.3 函数极限的性质 27
习题1.3 27
1.4 无穷小量与无穷大量 28
1.4.1 无穷小量 28
1.4.2 无穷大量 29
1.4.3 无穷小与无穷大的关系 30
习题1.4 30
1.5 极限的运算法则 30
1.5.1 极限的四则运算法则 30
1.5.2 复合函数的极限法则 33
习题1.5 34
1.6 极限存在准则 两个重要极限 34
1.6.1 夹逼准则 35
1.6.2 单调有界收敛准则 37
习题1.6 40
1.7 无穷小的比较 41
习题1.7 43
1.8 函数的连续性与间断点 44
1.8.1 函数的连续性 44
1.8.2 函数的间断点及其分类 45
1.8.3 连续函数的运算法则 48
1.8.4 初等函数的连续性 49
习题1.8 49
1.9 闭区间上连续函数的性质 51
1.9.1 最大值最小值与有界性定理 51
1.9.2 零点定理与介值定理 52
习题1.9 53
总习题一 54
第2章 导数与微分 57
2.1 导数的概念 57
习题2.1 63
2.2 函数的求导法则 64
习题2.2 81
2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 82
习题2.3 86
2.4 函数的微分 87
习题2.4 95
总习题二 96
第3章 微分中值定理与导数的应用 98
3.1 微分中值定理 98
3.1.1 罗尔（Roller）定理 98
3.1.2 拉格朗日（Lagrange）定理 99
3.1.3 柯西（Cauchy）定理 102
定理3.3 102
习题3.1 104
3.2 洛必达法则 105
3.2.1 ， 型未定式 105
3.2.2 其他型未定式 109
习题3.2 110
*3.3 泰勒公式 111
习题3.3 115
3.4 函数的单调性和极值 115
3.4.1 函数的单调性 115
3.4.2 函数的极值 117
习题3.4 120
3.5 函数的凹凸性及拐点 121
习题3.5 124
3.6 函数图形的描绘 125
3.6.1 曲线的渐近线 125
3.6.2 函数图形的描绘 126
习题3.6 128
3.7 最大（小）值及其在经济分析中的应用 129
3.7.1 闭区间上连续函数的最大值、最小值 129
3.7.2 实际问题中的最大值、最小值 129
习题3.7 132
总习题三 133
第4章 不定积分 135
4.1 不定积分的概念与性质 135
习题4.1 139
4.2 换元积分法 140
习题4.2 147
4.3 分部积分法 148
习题4.3 151
4.4 有理函数的积分 151
习题4.4 154
总习题四 154
第5章 定积分及其应用 158
5.1 定积分的概念与性质 158
习题5.1 164
5.2 微积分基本公式 165
习题5.2 170
5.3 定积分的换元法与分部积分法 171
习题5.3 177
5.4 广义积分 178
习题5.4 182
5.5 定积分的应用 182
习题5.5 192
总习题五 194
第6章 常微分方程初步 198
6.1 微分方程的基本概念 198
6.2 一阶线性微分方程 201
6.2.1 可分离变量的微分方程 202
6.2.2 齐次方程 208
6.2.3 一阶线性微分方程 212
6.3 二阶线性微分方程简介 215
6.3.1 二阶线性微分方程概念 215
6.3.2 二阶线性微分方程解的结构 216
6.4 二阶常系数线性微分方程 216
6.4.1 二阶常系数线性齐次微分方程的解 217
6.4.2 二阶常系数线性非齐次微分方程 218
6.5 全微分方程 220
6.6 微分方程应用举例 223
总习题六 228
习题参考答案 237

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