微积分及其应用

本书是基于高等数学课程教学改革与实践的成果编著而成的，增加了数学应用方面的案例，减少了数学理论和推导内容，加强直观性教学和计算机应用教学。

充分运用现代教育思想（形象思维、微元法思想、符号使用技巧等），重点突出知识的应用，引入数学建模思想及数学实验内容，为工程类与经济类的学生搭建了学习高等数学的公共平台，成为学生掌握数学工具、构建自己的数学知识体系的良师益友。

该书结合内容的展示提供多角度观察事物的方法，使读者从不同方向、不同层面、不同角度认识数学知识，观察事物，掌握数学原理、方法、应用数学知识的例证（原型）。

本书是基于高等数学课程教学改革与实践的成果编著而成的。2005～2008年，结合应用型人才培养的需要，我们进行了“以提高数学应用能力为目标”的高等数学课程教学改革。教学实践中，一是增加了数学应用方面的案例，减少了数学理论和推导内容；二是加强直观性教学和计算机应用教学。2007年主编了理工类和财经类《高等数学》教材，主要特点：一是，以清晰准确的数学语言表述抽象的数学概念，将基本理论的教学与应用相结合；将抽象的数学概念与方法尽可能与专业相结合，理论联系实际；将实际问题转化为用数学理论来解释，并用数学的方法来解决，为以后的数学建模奠定基础；二是，突出专业特点，讲清讲透专业所需数学理论知识，贯穿数学为专业服务的基本思想。

2009～2013年，根据应用技术人才培养的需要进行了“以构建学生自己的数学知识体系为目标”的高等数学课程教学改革。我们以现代教育技术为基础，视数学工具、数学方法、数学美学、数学文化为一个教学整体，结合高等职业教育对象的特点设计数学教学内容体系。在教学内容设计上，力求使学生进一步了解数学思想和文化、知道更多的数学方法、熟悉一些本专业的数学应用；在数学教学过程设计上，以教师和学生学习成果相互转化为主要教学形式，以构建学生自己的数学知识体系为目的；在教学手段和教学方法设计上，注重学生的“自主性”和“实践性”，营造自主、生动、合作、尊重的学习环境；在学生成绩评定上，注重学生学习过程考核和实践性考核。我们将《高等数学》课程的内容设计成一元函数微积分、多元函数微积分、线性代数（矩阵及其运算、线性方程组）、概率统计（随机事件及概率、随机变量及数字特征、参数估计与假设检验）、数学实验（软件功能集成、软件在高等数学中的应用）五大模块，其中一元函数微积分是基础模块，土建类、制造类、电子信息类、财经类各专业学生均要求学习，其余模块根据专业课程学习的需要开设。在基础模块上，我们力求做到适应多岗位、便于转岗需要，在知识应用方面尽可能使学生既懂工程应用又懂经济应用。第一次将数学实验内容纳入全校高等数学课程教学内容。课外组织学生参加“大学生数学建模”训练和竞赛，达到数学建模教学目的。在教学实践过程中，一是强化数学思想、数学方法教学，引进数学实验教学内容，降低传统计算方法教学内容比重；二是强化专业数学应用教学。

同期主编了理工类和财经类同一平台的《高等应用数学基础》教材，主要特点：一是充分运用现代教育思想（形象思维、微元法思想、符号使用技巧等），希望学生获得极强的理性思维训练；二是重点突出知识的应用，希望拓展学生的数学应用空间；三是引入数学建模思想及数学实验内容，希望学生获得数学美的熏陶；四是为工程类与经济类的学生搭建了学习高等数学的公共平台，希望成为学生掌握数学工具、构建自己的数学知识体系的良师益友；五是结合内容的展示提供多角度观察事物的方法，使读者从不同方向、不同层面、不同角度认识数学知识，观察事物，掌握数学原理、方法、应用数学知识的例证（原型）；六是提供了主要内容的学习、讲授方法，提供了处理抽象理论、常见问题分析和解决的方法，以及对抽象事物的认识方法。

2014～2015年，我们在总结分析十年数学课程教学改革与实践经验教训的基础上进行了“高校转型发展应用技术人才培养之数学教育整合研究”。研究表明：大学数学课程是应用技术专业的重要基础课程，学习价值不仅体现在对专业理论学习的消化理解上，最终也体现在学生的专业实践上，应用技术专业的毕业生将来在从事技术生产的过程中离不开识别、分析、计算、模拟实验、推断和决策等基本能力，这些能力的形成在一定程度上依赖于数学。教学目的首先是培养学生的基本数学素质（了解数学文化，会用数学思想和方法解决实际问题，会用数学技术、数学实验、数学理论等现代数学解决高新技术发展中的实际问题）和创造性（发现、发明），其次是为专业课的学习打下量化分析和理性思维的基础。大学数学教育在高等职业教育中具有五大作用，即大学数学是学生掌握数学工具的主要课程，是培养学生理性思维的重要载体，是学生接受美感熏陶的一种途径，是数学文化传承的主要形式，是掌握高新技术的有效途径。

因此，我们构建了“基于基础数学教育、应用数学教育、数学技术教育”的高等数学课程教育教学内容体系，教学内容包含于《数学文化概要》《微积分及其应用》《应用数学基础》《数学技术教育基础》等教材之中。

该系列教材由重庆工商职业学院的李先明教授和刘彦辉副教授主持编写，负责思想原则确立、内容设计、统稿和定稿工作。参加本书主要编写工作的有重庆工商职业学院的敖开云副教授、张静讲师、姚素芬讲师、时耀敏讲师。另外参加本书部分编写工作的还有王正均（重庆电子工程职业技术学院副教授）、陈德林（重庆水利电力职业技术学院副教授）、唐希平（重庆巴渝职业技术学院副教授）、刘光（重庆城市管理职业学院教授）、郭渝生（重庆青年职业技术学院副教授）、刘家英（重庆医药高等专科学校副教授）、许院年（重庆工商职业学院副教授）、杨俊（重庆航天职业技术学院副教授）。

本书共10章：向量空间及函数、函数的极限、函数的微分、函数的积分、常微分方程初步、无穷级数、三维空间几何、多元函数的微分、多元函数的积分、数学实验。每章后面配有基本练习题，要求读者独立完成，题目答案可通过简单演算获得，也可通过数学实验的方法获得。另外，难度较大的题目已放入数学实验教学内容之中。习题难度按大专以上水平设计。

我们认为，高等职业教育已进入内涵建设阶段，数学课程教学改革任重道远，希望凭借此书吸引更多的同仁参与数学课程教育研究，推动我国高等职业教育更快地发展。

前言

第1章 向量空间及函数 1
1.1 向量空间 1
1.1.1 向量的概念 1
1.1.2 数轴与一维向量空间 1
1.1.3 平面直角坐标系与二维向量空间 2
1.1.4 空间直角坐标系与三维向量空间 4
1.1.5 n维空间 5
1.2 函数的概念 6
1.2.1 一元函数模型 6
1.2.2 多元函数模型 6
1.3 初等函数 7
1.3.1 基本初等函数 7
1.3.2 函数的基本性质 10
1.4 建立函数模型 11
习题1 13
第2章 函数的极限 15
2.1 极限的几何特征 15
2.2 极限的四则运算 18
2.2.1 四则运算 18
2.2.2 应用举例 19
2.3 极限数学计算方法 20
2.3.1 型未定式极限的计算 20
2.3.2 型未定式极限的计算 21
2.3.3 两个重要极限 22
2.3.4 无穷大量与无穷小量 24
2.4 函数的连续性 26
2.5 极限的应用 28
习题2 31
第3章 函数的微分 34
3.1 函数导数的概念 34
3.1.1 曲线的切线 34
3.1.2 导数的概念 35
3.1.3 导数的基本公式 36
3.2 函数导数的数学计算方法 38
3.2.1 四则运算法则 38
3.2.2 复合函数求导法 39
3.2.3 隐函数求导法 40
3.2.4 函数的高阶导数 42
3.3 函数微分及计算方法 42
3.3.1 微分的概念 42
3.3.2 求函数的微分 43
3.4 函数微分的应用 45
3.4.1 泰勒公式及近似计算 45
3.4.2 中值定理与洛必塔法则 47
3.4.3 初等函数形态研究 51
3.4.4 函数的最大（小）值 54
习题3 61
第4章 函数的积分 66
4.1 不定积分的概念 66
4.1.1 原函数与不定积分 66
4.1.2 基本积分公式 68
4.1.3 公式应用举例 69
4.2 不定积分的数学计算 70
4.2.1 换元积分法 71
4.2.2 分部积分法 76
4.2.3 综合举例 78
4.3 定积分的概念 80
4.3.1 曲边梯形的面积与定积分 80
4.3.2 微积分基本定理 84
4.3.3 公式应用举例 86
4.4 定积分的数学计算 87
4.4.1 换元积分法 88
4.4.2 分部积分法 89
4.4.3 综合举例 91
4.5 广义积分 92
4.5.1 无穷区间上的广义积分 92
4.5.2 无界函数的广义积分 94
4.6 定积分的应用 95
4.6.1 几何应用 96
4.6.2 物理应用 103
4.6.3 经济应用 108
4.6.4 电学应用 110
习题4 113
第5章 常微分方程初步 117
5.1 常微分方程的基本概念 117
5.2 可分离变量的微分方程 119
5.3 一阶线性微分方程 120
5.4 二阶常系数线性微分方程 122
5.5 常微分方程应用 126
习题5 129
第6章 无穷级数 131
6.1 数项级数 131
6.1.1 数项级数的基本概念 131
6.1.2 求数项级数的和 131
6.1.3 数项级数的性质 132
6.1.4 正项级数收敛判别法 133
6.1.5 任意项级数 135
6.2 函数项级数 136
6.2.1 基本概念 136
6.2.2 幂级数 136
6.2.3 泰勒级数 138
6.2.4 傅立叶级数 142
6.2.5 傅氏变换与拉氏变换 147
习题6 150
第7章 三维空间几何 152
7.1 空间直角坐标系 152
7.2 空间向量的概念 154
7.3 空间向量运算 154
7.3.1 向量的加减法 154
7.3.2 向量的数乘 154
7.3.3 向量的坐标 155
7.3.4 向量的数量积（点乘） 155
7.3.5 向量的向量积（叉乘） 156
7.4 空间平面方程 157
7.4.1 决定平面的条件 157
7.4.2 平面的方程 158
7.4.3 平面与平面的位置关系 159
7.4.4 平面与平面的夹角 159
7.4.5 点到平面的距离 160
7.5 空间直线方程 160
7.5.1 决定直线的条件 160
7.5.2 直线的方程 160
7.5.3 直线与直线、直线与平面的
位置关系 161
7.6 空间曲线与曲面 162
7.6.1 空间曲线 162
7.6.2 空间曲面 162
习题7 166
第8章 多元函数的微分 169
8.1 多元函数的偏导数 169
8.1.1 二元函数基本概念 169
8.1.2 二元函数的极限与连续 170
8.1.3 偏导数 170
8.1.4 求导法则 172
8.1.5 高阶偏导数 172
8.2 多元函数的全微分 173
8.3 多元复合函数和隐函数的偏导数 174
8.4 多元函数的极值 175
习题8 177
第9章 多元函数的积分 180
9.1 曲顶柱体体积与二重积分 180
9.1.1 二重积分的概念 180
9.1.2 二重积分的性质 181
9.2 二重积分的数学计算方法 181
9.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 181
9.2.2 在极坐标系下计算二重积分 185
9.3 二重积分的应用 187
9.3.1 曲面面积 187
9.3.2 空间体积 188
9.3.3 其他应用 189
9.4 空间物体质量与三重积分 190
9.5 三重积分的数学计算方法 192
9.6 物质曲线的质量与第一类曲线积分 196
9.7 变力作功与第二类曲线积分 198
9.8 物质曲面质量与第一类曲面积分 203
9.9 均匀稳定的流体流量与第二类
曲面积分 205
9.9.1 曲面的侧 205
9.9.2 流体的流量与第二类曲面积分 205
习题9 207
第10章 数学实验 212
10.1 初识MATLAB 212
10.2 MATLAB集成环境 217
10.2.1 集成环境 217
10.2.2 主窗口 218
10.2.3 工作空间窗口 219
10.2.4 MATLAB帮助系统 220
10.3 MATLAB基本知识 221
10.3.1 基本运算符及表达式 221
10.3.2 MATLAB变量命名规则 221
10.3.3 数值计算结果的显示格式 221
10.3.4 MATLAB指令行中的标点符号 222
10.3.5 MATLAB指令窗的常用
控制指令 223
10.3.6 数学函数 223
10.4 MATLAB在微积分中的应用 223
10.4.1 计算函数的极限 223
10.4.2 计算函数的导数 227
10.4.3 计算函数的积分 233
10.4.4 绘制平面区域图形 235
10.4.5 解常微分方程 237
10.4.6 积分变换与级数 237

1. 微积分（经管类）导学篇（下册） [王海棠 曹海军 周玲丽]
2. 微积分（经管类）教程篇（下册） [曹海军 王海棠 周玲丽]
3. 微积分（经管类）教程篇（上册） [曹海军 王海棠 周玲丽]
4. 微积分（经管类）导学篇（上册） [王海棠 曹海军 周玲丽]
5. 微积分探究性学习的理论与实践研究 [徐永琳 田巧玉 文艳艳]
6. 经济数学——微积分 [主 编 黄玉娟]
7. 经济数学——微积分（第二版）同步辅导及习题全解` [郝国亮]
8. 经济应用数学基础（一）微积分（第三版）全程辅导及习题精解 [冯君淑]
9. 微积分（第三版•下册）同步辅导及习题全解 [黄淑森 苏志平]
10. 微积分（第三版）同步辅导及习题全解 [主编 黄淑森 焦艳芳]
11. 微积分（第二版•上册）同步辅导及习题全解 [主编 边文思 黄淑森]
12. 微积分（第三版•上册）同步辅导及习题全解 [主编 边文思 黄淑森]
13. 微积分（第二版·下册）同步辅导及习题全解 [边文思 黄淑森]