微积分（经管类）导学篇（上册）

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，简单来说，就是研究数和形的科学．

数学是一门古老而又年轻的科学．早在公元前两千多年，人们由于贸易、测量和航海的需要，整理了更远古的计算和测量方法，从而形成了数学．这一时期，数学知识还是片面的、零碎的，没有形成严谨的体系，称为数学的萌芽时期．

从公元前6世纪开始，古希腊的数学就已获得独立的地位，而数学作为一门完整的科学，是在公元前3世纪，由欧几里得的不朽之作《几何原本》确立的．公元前6世纪到17世纪中叶，称为初等数学时期；17世纪，笛卡尔的解析几何与微积分的诞生成为变量数学的标志；18世纪，由于物理学、天文学和数学本身的发展，出现许多新的数学分支，如级数、微分方程、微分几何、复变函数、实变函数和泛函分析等，因此18世纪是分析的世纪；19世纪至今，产生了非欧几何，康托尔创立了集合论，由此产生了拓扑学、概率统计、运筹学、控制论、系统分析、经济数学和生物数学等．

二、微积分概述

在中学阶段学习的主要是初等数学（包括初等代数和初等几何），其研究对象基本是不变的量；微积分则是以函数（变量）、连续函数为研究对象，极限是其最基本的研究方法，微分与积分为其主要内容．

微积分对于高等院校经管类学生来说是一门面广、量大而影响深远的重要基础课程，概念难度偏大、理论性强、抽象性强．通过对微积分的学习，学生应当掌握微积分的基本概念、基本理论，培养数学运算能力、抽象思维能力、逻辑思维能力、自学能力和创新能力，提高数学修养和数学素质，为以后学习专业技术知识和从事科学技术研究打下坚实的基础．

微积分诞生于300多年以前，被科学家誉为人类思想的伟大成果之一．几百年来，微积分一直被各个大学作为重要的基础课来让学生学习，原因就是它非常有用，而且对于培养思维能力来说有积极作用．微积分来源于实践，也可应用于实践，在工程技术乃至社会科学领域都有非常重要的应用．下面举几个典型的例子．比如，在火箭的发射、升空、飞行过程中，它做的是变速运动，那么怎样定义火箭运动的瞬时速度？怎样计算瞬时速度？比如，对一条任意形状的光滑曲线，怎样求曲线上某一点处的切线？比如，一门大炮，它的炮身和地面的夹角直接影响到炮弹的射程，则它和地面的夹角为多少时炮弹的射程最远？再比如，对一块边缘不规则的田地，怎样求出这块田地的面积？这些问题都可以用微积分来解决．实际上，这四个例子对应着历史上著名的四大类问题，即速度问题、切线问题、最大最小值问题、求面积和体积问题，它们是微积分产生的源泉．

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、诞生与发展经历了漫长的时期．早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法，这是微积分的先驱．而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的极限思想；公元263年，刘徽为《九章算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周，这是极限思想的成功运用．

积分概念是从求某些面积、体积和弧长的问题中产生的．古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积，他没有用极限方法，而是用“有限”开工的穷竭法，这成为积分学的萌芽．

微分是从对曲线作切线的问题和求函数的极大值、极小值问题中产生的．微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费马陈述的概念．费马给出了如何确定极大值和极小值的方法．其后英国剑桥大学三一学院的巴罗教授又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生．在前人工作的基础上，牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分．

1665年5月20日，在牛顿手写的一份文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志．牛顿关于微积分的著作很多写于1665—1676年，但这些著作发表很迟．他完整地提出微分与积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼茨公式．

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及航海、天文、矿山建设等领域许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，由此数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科．整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立进行了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨．

微积分的诞生一般分为三个阶段：极限概念阶段、求积的无限小方法阶段、积分与微分的互逆关系阶段．最后一个阶段是由牛顿和莱布尼茨完成的．前两阶段的工作，欧洲的大批数学家（可追溯到古希腊的阿基米德）都做出了各自的贡献．追溯到公元前3世纪，在古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—公元前212年）的著作《圆的测量》和《论球与柱》中就已含有微积分的萌芽，他在抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积问题的研究中就隐含着近代积分的思想．开普勒在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形，并提出圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为极限思想的佳作．意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》一书中把曲线看成是无限多条线段（不可分量）拼成的．对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的．公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念．刘徽在公元263年首创了割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3.1416，他的极限思想和无穷小方法是世界古代极限思想的深刻体现．

微积分思想虽然可追溯至古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，在开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的．而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖暅求球体积的方法中都可找到．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中独创了“隙积术”“会圆术”和“棋局都数术”，开始了对高阶等差级数求和的研究．

上述科学家都为17世纪微积分成为一门科学奠定了基础，解析几何也为微积分的创立奠定了基础．16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，资本主义逐渐兴起，为科学技术的发展开创了美好前景．到了17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述四大类问题做了大量的研究工作．笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），创立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成代数形式，而且可以通过代数变换来发现、证明几何性质．他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上．他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系、变量与变量之间的关系，还可以表示曲线．此外，笛卡尔还打破了表示体积、面积及长度的量之间不可进行加减的束缚．至此几何图形的各种量可以转化为代数量来进行表示，使得几何与代数在数量上统一了起来．就这样笛卡尔把相互对立的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史上的一次飞跃，为微积分的成熟提供了必要条件，开拓了变量数学的广阔空间．

三、关于本教材

本教材充分考虑高等教育大众化阶段的现实状况，以教育部非数学专业数学基础课教学指导分委员会制定的新的“经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”为依据，结合经管类研究生入学考试的数学大纲进行编写．参加本教材编写的人员都是多年担任经济数学实际教学的教师，他们都有较高的理论造诣和较丰富的教学经验．本教材以培养应用型人才为目标，将数学基本知识与经济、管理学科中的实际应用有机结合起来，主要有以下几个特点：

（1）注重体现应用型本科院校特色．根据经济类和管理类各专业对数学知识的需求，本着“轻理论、重应用”的原则制定内容体系．

（2）注重理论联系实际．在内容安排上由浅入深，与中学数学进行了合理的衔接．在引入概念时，介绍了概念产生的实际背景，采用提出问题—讨论问题—解决问题的思路，逐步展开知识点，使学生能够从实际问题出发，激发学习兴趣；另外在微分学与积分学章节中，引入了经济、管理类的实际应用例题和课后练习题，以培养学生应用数学工具解决实际问题的意识和能力．

（3）本教材结构严谨、逻辑严密、语言准确、解析详细，易于学生阅读．由于弱化了抽象理论，突出了理论应用和方法介绍，内容深度广度适当，贴近教学实际，便于教师教与学生学．本教材内容分为教程篇（上、下册）和导学篇（上、下册），包括函数的极限、一元函数微积分学、微分方程、多元函数微积分学、无穷级数、数学实验、微积分在经济中的应用等内容．

（4）在教程篇每一章的结束部分，都增加了数学拓展，其中包含数学建模和有杰出贡献的数学家的生平简介．通过数学建模，可以使学生认识到所学的数学知识在经济、管理学中有着广泛的应用，同时能够利用所学知识对相应问题进行简单求解．通过介绍数学家的生平和事迹，可以使学生真正了解数学发展的基本过程，而且能让学生学习数学家追求真理、维护真理的坚韧不拔的科学精神．在导学篇每章的后面都配有单元练习，供学生学完一章后复习、总结、提高之用．其中的题目主要考查本章必须掌握的知识点，并强调知识点的综合运用，注重培养学生的解题思路和解题方法，便于学生自测．

（5）与中学数学衔接紧密．附录Ⅰ中对常用基本初等函数的定义域和图像进行全面总结，附录Ⅱ对常见的三角函数公式进行了全面总结，并在附录Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ中分别介绍了二阶行列式、三阶行列式、一些常用的平面曲线及其图形、各种类型的不定积分公式，供学生查阅参考．

在编写过程中，我们借鉴同类院校经典教材的优点，注重教材改革中的一些成功案例，使得本教材更适合当代大学生人才培养和教学实践的需要．

本教材为了更好地实现与中学数学内容的衔接，对反三角函数的相关内容进行了详细描述；为保证教学内容更加系统，将微分方程调整到定积分之后；根据现有微积分课程课时要求，对空间解析几何的内容进行了适当精简合并，将其添加到多元函数微分学的第一节，同时增加了大量经济、管理数学模型的例题和习题．

参加教程篇编写的有曹海军（第1—5章），周玲丽（第6、7、10章），张鑫（第8、9章）．教程篇由曹海军、周玲丽统稿及定稿．参加导学篇编写的有王海棠（第1、2、9、10章），马彦君（第3、4章），李丽（第5、6章），于学光（第7、8章）．导学篇由王海棠统稿及定稿．在编写过程中，我们参考和借鉴了许多国内外有关文献资料，并得到了很多同行的帮助和指导，在此对所有关心支持本教材编写的教师表示衷心感谢．

限于编写水平，书中难免有错误和不足之处，敬请广大读者批评指正．

编 者

2022年3月

第1章 函数 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 知识点分析 1
1.1.2 典例解析 4
1.1.3 习题 7
1.1.4 习题详解 8
1.2 函数关系的建立与常用经济函数 9
1.2.1 知识点分析 9
1.2.2 典例解析 11
1.2.3 习题 12
1.2.4 习题详解 12
本章练习A 13
本章练习B 14
本章练习A答案 16
本章练习B答案 17
第2章 极限与连续 19
2.1 数列的极限 20
2.1.1 知识点分析 20
2.1.2 典例解析 21
2.1.3 习题 22
2.1.4 习题详解 22
2.2 函数的极限 23
2.2.1 知识点分析 23
2.2.2 典例解析 24
2.2.3 习题 25
2.2.4 习题详解 26
2.3 无穷小与无穷大 27
2.3.1 知识点分析 27
2.3.2 典例解析 28
2.3.3 习题 28
2.3.4 习题详解 29
2.4 极限的运算法则及两个重要极限 29
2.4.1 知识点分析 29
2.4.2 典例解析 31
2.4.3 习题 33
2.4.4 习题详解 34
2.5 无穷小的比较 37
2.5.1 知识点分析 37
2.5.2 典例解析 38
2.5.3 习题 38
2.5.4 习题详解 39
2.6 函数的连续性与间断点 40
2.6.1 知识点分析 40
2.6.2 典例解析 43
2.6.3 习题 44
2.6.4 习题详解 45
本章练习A 47
本章练习B 49
本章练习A答案 51
本章练习B答案 54
第3章 导数与微分 58
3.1 导数的概念 59
3.1.1 知识点分析 59
3.1.2 典例解析 60
3.1.3 习题 61
3.1.4 习题详解 62
3.2 函数的微分 63
3.2.1 知识点分析 63
3.2.2 典例解析 64
3.2.3 习题 65
3.2.4 习题详解 65
3.3 导数与微分的运算 65
3.3.1 知识点分析 65
3.3.2 典例解析 67
3.3.3 习题 71
3.3.4 习题详解 72
3.4 高阶导数 74
3.4.1 知识点分析 74
3.4.2 典例解析 75
3.4.3 习题 77
3.4.4 习题详解 77
3.5 边际与弹性 79
3.5.1 知识点分析 79
3.5.2 典例解析 79
3.5.3 习题 80
3.5.4 习题详解 81
本章练习A 82
本章练习B 84
本章练习A答案 86
本章练习B答案 88
第4章 微分中值定理与导数的应用 92
4.1 微分中值定理 93
4.1.1 知识点分析 93
4.1.2 典例解析 93
4.1.3 习题 95
4.1.4 习题详解 95
4.2 洛必达法则 97
4.2.1 知识点分析 97
4.2.2 典例解析 97
4.2.3 习题 99
4.2.4 习题详解 99
4.3 函数的单调性、极值与最值 101
4.3.1 知识点分析 101
4.3.2 典例解析 102
4.3.3 习题 104
4.3.4 习题详解 105
4.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘 108
4.4.1 知识点分析 108
4.4.2 典例解析 109
4.4.3 习题 111
4.4.4 习题详解 111
本章练习A 112
本章练习B 114
本章练习A答案 115
本章练习B答案 118
第5章 一元函数积分学 121
5.1 定积分的概念与性质 122
5.1.1 知识点分析 122
5.1.2 典例解析 124
5.1.3 习题 124
5.1.4 习题详解 125
5.2 微积分基本公式 126
5.2.1 知识点分析 126
5.2.2 典例解析 127
5.2.3 习题 128
5.2.4 习题详解 129
5.3 不定积分的概念与性质 131
5.3.1 知识点分析 131
5.3.2 典例解析 132
5.3.3 习题 134
5.3.4 习题详解 135
5.4 积分的换元法 137
5.4.1 知识点分析 137
5.4.2 典例解析 139
5.4.3 拓展例题解析 143
5.4.4 习题 146
5.4.5 习题详解 148
5.5 分部积分法 158
5.5.1 知识点分析 158
5.5.2 典例解析 158
5.5.3 习题 160
5.5.4 习题详解 161
5.6 反常积分 168
5.6.1 知识点分析 168
5.6.2 典例解析 169
5.6.3 习题 170
5.6.4 习题详解 171
5.7 一元函数积分的几何应用与经济应用 173
5.7.1 知识点分析 173
5.7.2 典例解析 175
5.7.3 习题 179
5.7.4 习题详解 180
本章练习A 184
本章练习B 187
本章练习A答案 190
本章练习B答案 196
上册自测题 204

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