复变函数与积分变换（第二版）

依据教育部制定的《高职高专教育基础课程教学基本要求》和《高职高专教育专业人才培养目标及规格》的要求，严格依据教育部提出的高职高专教育＂以应用为目的，以必需、够用为度＂的原则，精心选择教材内容。

从实际应用和学生学习后续专业课的需要（实例）出发，根据数学思想和数学概念与工程实际结合的高职高专教学的特点，淡化了深奥的数学理论。

每章都配有本章学习目标、本章小结、习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

本书在第一版基础上，根据多年的教学改革实践和高校教师提出的一些建议进行修订。修订工作主要包括以下方面的内容：

1．仔细校对并订正了第一版中的印刷错误。

2．对第一版教材中的某些疏漏予以补充完善。

3．调整了原书中的部分习题，使之与书中内容搭配更加合理。

负责本书修订编写工作的有张翠莲、牛莉、曾大有等。本书仍由张翠莲主编，由牛莉、曾大有担任副主编，各章编写分工如下：复变函数第1章、第2章由牛莉编写，第3章、第4章由曾大有编写，第5章由程广涛编写，积分变换第1章、第2章及书后附录由张翠莲编写。参加本书修订的还有何春江、翟秀娜、张钦礼、邓凤茹、赵艳、郭照庄、霍东升、戴江涛、张静、聂铭玮、刘园园等。

在修订过程中，我们认真考虑了读者的建议意见，在此对提出意见建议的读者表示衷心感谢。新版中存在的问题，欢迎广大专家、同行和读者继续给予批评指正。

编 者

2014年12月

第一篇 复变函数
第1章 复数与复变函数 3
本章学习目标 3
1.1 复数 3
1.1.1 复数的概念 3
1.1.2 复数的代数运算 4
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角 5
1.1.4 复数的幂与根 9
1.2 区域 11
1.2.1 复平面上的点集与区域 11
1.2.2 单连通域与多（复）连通域 13
1.3 复变函数 14
1.3.1 复变函数的概念 14
1.3.2 映射的概念 15
1.3.3 反函数与复合函数 16
1.4 复变函数的极限与连续性 17
1.4.1 复变函数的极限 17
1.4.2 复变函数的连续 18
本章小结 20
习题1 21
自测题1 23
第2章 解析函数 26
本章学习目标 26
2.1 复变函数的导数与微分 26
2.1.1 复变函数的导数 26
2.1.2 可导与连续的关系 28
2.1.3 复变函数的微分 28
2.1.4 导数运算法则 29
2.2 解析函数的概念 30
2.2.1 解析函数的定义及其性质 30
2.2.2 函数解析的充要条件 31
2.3 初等函数及其解析性 34
2.3.1 指数函数 34
2.3.2 对数函数 35
2.3.3 幂函数 36
2.3.4 三角函数 37
2.3.5 反三角函数 38
2.3.6* 双曲函数与反双曲函数 39
本章小结 40
习题2 41
自测题2 43
第3章 复变函数的积分 45
本章学习目标 45
3.1 复变函数积分的概念 45
3.1.1 积分的定义 45
3.1.2 积分存在的条件及其计算方法 46
3.1.3 积分的性质 47
3.2 积分基本定理 49
3.2.1 积分与路径无关问题 49
3.2.2 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 50
3.2.3 几个等价定理 51
3.3 基本定理的推广—复合闭路定理 52
3.4 柯西积分公式 54
3.5 解析函数的高阶导数 56
本章小结 57
习题3 58
自测题3 59
第4章 级数 61
本章学习目标 61
4.1 幂级数 61
4.1.1 幂级数的概念 61
4.1.2 泰勒级数 63
4.2 罗伦级数 64
本章小结 67
习题4 68
自测题4 69
第5章 留数 70
本章学习目标 70
5.1 孤立奇点 70
5.1.1 孤立奇点的概念及分类 70
5.1.2 函数的零点与极点的关系 71
5.2 留数 72
5.2.1 留数的概念 72
5.2.2 留数定理 73
5.2.3* 在无穷远点的留数 77
5.2.4* 留数在定积分计算上的应用 78
本章小结 80
习题5 81
自测题5 82
第二篇 积分变换
第6章 傅里叶变换 84
本章学习目标 84
6.1 傅里叶积分 84
6.1.1 主值意义下的广义积分 84
6.1.2 傅氏积分存在定理 86
6.2 傅里叶变换与频谱 86
6.2.1 傅里叶变换的概念 86
6.2.2 傅氏变换的物理意义—频谱 88
6.3 函数及其傅里叶变换 90
6.3.1 函数的定义 91
6.3.2 函数的性质 93
6.3.3 函数的傅里叶变换 94
6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 95
6.4 傅里叶变换的性质 97
6.4.1 线性性质 97
6.4.2 对称性质 97
6.4.3 相似性性质 98
6.4.4 平移性质 98
6.4.5 微分性质 101
6.4.6 积分性质 102
6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 102
本章小结 103
习题6 105
自测题6 106
第7章 拉普拉斯变换 108
本章学习目标 108
7.1 拉普拉斯变换 108
7.1.1 拉普拉斯变换的概念 108
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 109
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 109
7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换 111
7.2 拉普拉斯变换的基本性质 112
7.2.1 线性性质 112
7.2.2 相似性 112
7.2.3 平移性质 113
7.2.4 微分性质 114
7.2.5 积分性质 116
7.2.6 拉氏变换的卷积与卷积定理 117
7.3 拉普拉斯逆变换 119
7.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 119
7.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 121
7.4 拉普拉斯变换的应用 122
7.4.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 122
7.4.2 线性系统的传递函数 125
本章小结 126
习题7 127
自测题7 131
附录1 复变函数习题与自测题提示与答案 133
附录2 积分变换习题与自测题提示及答案 144
附录3 变换简表 149
参考文献 158

1. 信息技术基础（麒麟操作系统+WPS Office） [主编　芮雪　蒋莉　王亮亮]
2. Office高级应用项目式教程（第2版） [主编 李观金 张倩文 黎夏克 ]
3. 巧用翻译学英语：英汉互译500例 [王学文 著]
4. 高等教育多维评价体系构建与高质量发展研究 [张妍 著]
5. 系统规划与管理师章节习题与考点特训（第二版） [主编 薛大龙]
6. 计算机操作系统实践指导（openEuler版） [主编 秦光 曾陈萍 岳付强]
7. 信息系统管理工程师真题及模考卷精析（适用机考） [主 编 薛大龙 程 刚 上官绪]
8. 航海类院校体育教育教学研究 [张利超 李宁 著]
9. 新时代背景下我国职业教育产教融合长效机制建设研究 [王玉贤 著]
10. 电路分析 [主编 李飞 毛先柏]
11. 信息系统管理工程师（适用第2版大纲）一站通关 [指尖疯　编著]
12. 传统山水画论解读与实践 [陈钠 著]
13. 网络工程师备考一本通（适配第6版考纲） [夏杰 编著]
14. 陈孝云的职教理想与情怀 [祝吉太 江传瑞 张义廷 著]
15. 地方本科院校电子信息学科课程思政案例集 [王甫]
16. Excel数据处理与分析（第二版） [主编 张志明 邹 蕾]
17. 网络工程师5天修炼（适配第6版考纲） [主编　朱小平 施游]
18. 仓储管理实务（第二版） [周宁武 编著]
19. 基于AE与C#的地理信息系统二次开发 [李小根 贾艳昌 乔翠平 姜彤 ]
20. 2023年长沙市文化和旅游业发展报告 [主编 陈莉]
21. 舞台化妆造型设计 [主编 刘思彤 张 涛 张忆雨]
22. 产教融合视角高校体育专业实践教学体系构建研究 [杨柳青 叶华兵 著]
23. 知识图谱及应用案例 [张善文 黄文准 于长青 陈明淑]
24. Python程序设计案例教程（微课版） [主编　石利平　田辉平　余以胜]
25. 皓月繁星：青少年儿童心理成长手册 [主　编　林赞歌 副主编　杜志南]
26. 材料力学 [章宝华 赵新胜 徐斌]
27. 系统集成项目管理工程师考试32小时通关（第3版） [主编　薛大龙 副主编　上官绪阳]
28. 软考论文高分特训与范文10篇——系统分析师（第二版） [薛大龙 邹月平 施游]
29. 黄河海勃湾水利枢纽防凌安全运行 [王战领 王丛发 范瑜彬 著]
30. 大学生心理健康教育 [方雄 著]