线性代数（第三版）
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内 容 提 要
本书根据教育发布的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》，借鉴近年来线性代数课程教学与教材建设的实践经验及研究成果进行了修订。全书共分8章：行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵、二次型、线性空间与线性变换、MATLAB软件应用。每章配有一定数量的习题及同步测试题，书末附有习题、同步测试题的提示及参考答案。
本书参考学时为58学时，前6章（研究生考试的主要内容）约用50学时，前5章参考学时为40学时。
本书可作为高等院校理工科各专业本科生教材，也可作为考研参考书。
本书提供电子课件，读者可以从中国水利水电出版社网站（www.waterpub. com.cn）或万水书苑网站（www.wsbookshow.com）免费下载。
第三版前言
本书在第二版基础上，根据多年的教学改革实践和广大读者提出的一些建议进行修订，修订工作主要包括以下三个方面：
（1）仔细校对并订正了第二版教材中的印刷错误，统一了各类符号的使用。
（2）对第二版教材部分内容进行了调整、增加和删除。
（3）对第二版教材部分例题及习题进行了适当调整，使之难易程度适中。
本书由江志超任主编，岳雅璠、何精华、张跃忠任副主编，具体编写分工如下：第1章、第2章由岳雅璠编写，第3章、第6章由何精华编写，第4章、第5章、附录由江志超编写，第7章、第8章由张跃忠编写。参与本书部分编写工作的还有何春江、张文治、陈博海、邓凤茹、毕晓华等。
在修订过程中，我们认真考虑了同行及部分读者的意见和建议，在此我们对关心本教材修订工作的专家、同行及热心读者表示衷心的感谢。
欢迎各位专家、同行及广大读者继续对新版中存在的不足给予批评指正。
编 者
2025年3月
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 行列式 1
本章学习目标 1
1.1 全排列及其逆序数 1
1.1.1 排列与逆序 1
1.1.2 对换 2
1.2 行列式的概念 3
1.2.1 二、三阶行列式 3
1.2.2 n阶行列式的定义 7
1.3 行列式的性质 10
1.4 行列式按行（列）展开 15
1.5 克莱姆法则 21
本章小结 25
习题1 26
同步测试题1 28
第2章 矩阵 32
本章学习目标 32
2.1 矩阵的概念 32
2.1.1 矩阵的定义 32
2.1.2 几种特殊形式的矩阵 33
2.2 矩阵的运算 35
2.2.1 矩阵的线性运算 35
2.2.2 矩阵与矩阵相乘 36
2.2.3 矩阵的转置 40
2.2.4 方阵的行列式 43
2.3 逆矩阵 43
2.3.1 逆矩阵的定义及性质 44
2.3.2 方阵A可逆的充要条件及A-1的求法 45
2.4 分块矩阵 50
2.4.1 分块矩阵的概念 50
2.4.2 分块矩阵的运算 51
2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 55
2.5.1 矩阵的初等变换 56
2.5.2 初等矩阵 58
2.6 矩阵的秩 62
2.6.1 矩阵秩的定义 62
2.6.2 矩阵秩的性质 63
2.6.3 利用初等变换求矩阵的秩 63
本章小结 65
习题2 66
同步测试题2 69
第3章 向量组的线性相关性 73
本章学习目标 73
3.1 向量组及其线性组合 73
3.1.1 n维向量的定义 73
3.1.2 n维向量的线性运算 74
3.1.3 向量组及其线性组合 75
3.2 向量组的线性相关性 78
3.3 向量组的秩 86
3.3.1 向量组等价的概念 86
3.3.2 极大线性无关组与向量组的秩 87
3.3.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 89
3.3.4 利用初等变换求向量组的秩 90
3.4 向量空间 93
3.4.1 向量空间的概念 93
3.4.2 向量空间的基与维数 94
本章小结 95
习题3 97
同步测试题3 98
第4章 线性方程组 102
本章学习目标 102
4.1 齐次线性方程组 102
4.2 齐次线性方程组解的结构 103
4.3 非齐次线性方程组解的结构 111
本章小结 117
习题4 119
同步测试题4 121
第5章 相似矩阵 126
本章学习目标 126
5.1 矩阵的特征值与特征向量 126
5.1.1 矩阵的特征值、特征向量与特征多项式 126
5.1.2 特征值的性质 136
5.1.3 特征向量的性质 139
5.2 相似矩阵 141
5.2.1 相似矩阵的概念 141
5.2.2 相似矩阵的性质 142
5.3 向量的内积、正交化方法 150
5.3.1 向量的内积 150
5.3.2 向量的长度 151
5.3.3 正交向量组 152
5.3.4 正交化方法 154
5.3.5 正交矩阵 156
5.4 实对称矩阵的对角化 158
5.4.1 实对称矩阵的性质 158
5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 159
本章小结 166
习题5 171
同步测试题5 173
第6章 二次型 177
本章学习目标 177
6.1 二次型及其矩阵表示 177
6.1.1 合同矩阵 177
6.1.2 二次型及其矩阵表示 178
6.2 化二次型为标准形 180
6.2.1 二次型的标准形 180
6.2.2 用正交变换法化二次型为标准形 181
6.2.3 用配方法化二次型为标准形 182
6.3 正定二次型 186
本章小结 189
习题6 193
同步测试题6 194
第7章 线性空间与线性变换 197
本章学习目标 197
7.1 n维线性空间 197
7.1.1 n维线性空间的概念 197
7.1.2 基、维数与坐标 200
7.1.3 基变换与坐标变换公式 202
7.2 线性变换 208
7.2.1 线性变换的定义 208
7.2.2 线性变换的简单性质 209
7.2.3 线性变换的运算 210
7.3 线性变换的矩阵表示 213
7.3.1 线性变换在一个基下的矩阵 213
7.3.2 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 217
7.3.3 线性变换运算所对应的矩阵 218
7.3.4 线性变换A的矩阵为对角矩阵的充要条件 220
本章小结 220
习题7 223
同步测试题7 226
*第8章 MATLAB软件应用 228
8.1 行列式与矩阵的运算 228
8.1.1 实验目的 228
8.1.2 内容与步骤 228
8.2 线性方程组的求解 231
8.2.1 实验目的 231
8.2.2 内容与步骤 231
8.3 施密特正交化和二次型的标准化 236
8.3.1 实验目的 236
8.3.2 内容与步骤 236
附录 习题、同步测试题提示及参考答案 240
参考文献 259
第二版前言
第一版前言
第1章 行列式 1
本章学习目标 1
1.1 全排列及其逆序数 1
1.1.1 排列与逆序 1
1.1.2 对换 2
1.2 行列式的概念 3
1.2.1 二、三阶行列式 3
1.2.2 n阶行列式的定义 7
1.3 行列式的性质 10
1.4 行列式按行（列）展开 15
1.5 克莱姆法则 21
本章小结 25
习题1 26
同步测试题1 28
第2章 矩阵 32
本章学习目标 32
2.1 矩阵的概念 32
2.1.1 矩阵的定义 32
2.1.2 几种特殊形式的矩阵 33
2.2 矩阵的运算 35
2.2.1 矩阵的线性运算 35
2.2.2 矩阵与矩阵相乘 36
2.2.3 矩阵的转置 40
2.2.4 方阵的行列式 43
2.3 逆矩阵 43
2.3.1 逆矩阵的定义及性质 44
2.3.2 方阵A可逆的充要条件及A-1的求法 45
2.4 分块矩阵 50
2.4.1 分块矩阵的概念 50
2.4.2 分块矩阵的运算 51
2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 55
2.5.1 矩阵的初等变换 56
2.5.2 初等矩阵 58
2.6 矩阵的秩 62
2.6.1 矩阵秩的定义 62
2.6.2 矩阵秩的性质 63
2.6.3 利用初等变换求矩阵的秩 63
本章小结 65
习题2 66
同步测试题2 69
第3章 向量组的线性相关性 73
本章学习目标 73
3.1 向量组及其线性组合 73
3.1.1 n维向量的定义 73
3.1.2 n维向量的线性运算 74
3.1.3 向量组及其线性组合 75
3.2 向量组的线性相关性 78
3.3 向量组的秩 86
3.3.1 向量组等价的概念 86
3.3.2 极大线性无关组与向量组的秩 87
3.3.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 89
3.3.4 利用初等变换求向量组的秩 90
3.4 向量空间 93
3.4.1 向量空间的概念 93
3.4.2 向量空间的基与维数 94
本章小结 95
习题3 97
同步测试题3 98
第4章 线性方程组 102
本章学习目标 102
4.1 齐次线性方程组 102
4.2 齐次线性方程组解的结构 103
4.3 非齐次线性方程组解的结构 111
本章小结 117
习题4 119
同步测试题4 121
第5章 相似矩阵 126
本章学习目标 126
5.1 矩阵的特征值与特征向量 126
5.1.1 矩阵的特征值、特征向量与特征多项式 126
5.1.2 特征值的性质 136
5.1.3 特征向量的性质 139
5.2 相似矩阵 141
5.2.1 相似矩阵的概念 141
5.2.2 相似矩阵的性质 142
5.3 向量的内积、正交化方法 150
5.3.1 向量的内积 150
5.3.2 向量的长度 151
5.3.3 正交向量组 152
5.3.4 正交化方法 154
5.3.5 正交矩阵 156
5.4 实对称矩阵的对角化 158
5.4.1 实对称矩阵的性质 158
5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 159
本章小结 166
习题5 171
同步测试题5 173
第6章 二次型 177
本章学习目标 177
6.1 二次型及其矩阵表示 177
6.1.1 合同矩阵 177
6.1.2 二次型及其矩阵表示 178
6.2 化二次型为标准形 180
6.2.1 二次型的标准形 180
6.2.2 用正交变换法化二次型为标准形 181
6.2.3 用配方法化二次型为标准形 182
6.3 正定二次型 186
本章小结 189
习题6 193
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第7章 线性空间与线性变换 197
本章学习目标 197
7.1 n维线性空间 197
7.1.1 n维线性空间的概念 197
7.1.2 基、维数与坐标 200
7.1.3 基变换与坐标变换公式 202
7.2 线性变换 208
7.2.1 线性变换的定义 208
7.2.2 线性变换的简单性质 209
7.2.3 线性变换的运算 210
7.3 线性变换的矩阵表示 213
7.3.1 线性变换在一个基下的矩阵 213
7.3.2 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 217
7.3.3 线性变换运算所对应的矩阵 218
7.3.4 线性变换A的矩阵为对角矩阵的充要条件 220
本章小结 220
习题7 223
同步测试题7 226
*第8章 MATLAB软件应用 228
8.1 行列式与矩阵的运算 228
8.1.1 实验目的 228
8.1.2 内容与步骤 228
8.2 线性方程组的求解 231
8.2.1 实验目的 231
8.2.2 内容与步骤 231
8.3 施密特正交化和二次型的标准化 236
8.3.1 实验目的 236
8.3.2 内容与步骤 236
附录 习题、同步测试题提示及参考答案 240
参考文献 259
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