线性代数（第二版）

本书是根据教育部颁布的高等学校工科数学课程教学基本要求，结合多年的教学实践和体会，广泛摄取各版本教材改革之所长，同时兼顾本科报考研究生入学考试对线性代数的要求而编写的。在内容、结构方面做了必要的调整，这不仅使内容更具紧凑性，系统性更强，也更适应目前大多数院校面临的教学内容多、学时少以及教学要求不断提高的需求；在基本保持传统体系和内容的同时，力求将线性代数的抽象理论形象化、具体化；本书以循序渐进、“以例服理”贯穿于始末；语言简练，通俗易懂，便于教师教学和学生学习。

线性代数是高等学校理工科各专业学生必修的一门数学基础课程，是学习现代科学技术的重要理论基础，它有益于培养当代大学生的计算和抽象思维能力。本书适用于大学理工科非数学类专业学生，它不仅是学习计算数学、微分方程、离散数学等后续课程的必备基础，也是在自然科学和工程技术各领域中应用广泛的数学工具。随着计算机的日益普及，线性代数在理论和应用上的重要性愈显突出，高等院校的计算机、信息工程、自动控制、管理等各专业对线性代数的教学内容从深度以及广度上的要求越来越高，线性代数教材也应“与时俱进”，以适应当今的各类教学需求，这也就使得本书能应运而生。

本书是根据教育部颁布的高等学校工科数学课程教学基本要求，结合多年的教学实践和体会，广泛摄取各版本教材改革之所长，同时兼顾本科报考研究生入学考试对线性代数的要求而编写的。我们在内容、结构方面做了必要的调整，这不仅使内容更具紧凑性，系统性更强，也更适应目前大多数院校面临的教学内容多、学时少以及教学要求不断提高的需求；在基本保持传统体系和内容的同时，力求将线性代数的抽象理论形象化、具体化；本书以循序渐进、“以例服理”贯穿于始末；语言简练，通俗易懂，便于教师教学和学生学习。

本书引入数学软件，增加了用数学软件做数学的基本方法，使学生能对现有大型数学软件之一——Mathematica软件有个初步了解，并掌握一些常用的基本操作方法（此部分内容可在选修课中讲授，若条件允许可随教材同步讲授）。

本书参考学时58学时，50学时可选学前6章内容，40学时可选学前五章内容，其中带“*”号部分内容，可根据专业的不同需求酌情删减。本书每章都有学习目标、小结，对所学知识进行简单归纳和整理，便于学生复习与提高；每章都配有适量习题，均以同济大学第三版中的习题为主；每章还配有同步测试题，便于学生复习巩固，提高学习质量，题型与考研题型相吻合，并伴有部分考研复习题；书末附有习题和同步测试题的提示及答案。

本书由牛莉主编，第1章、第2章、第3章、第4章、第8章由牛莉编写，第5章、第6章、第7章由张翠莲编写．参加本书编写工作的还有：何春江、毕亚军、翟秀娜、曾大有、张京轩、邓凤茹、王明妍、赵艳、王晓威、张钦礼、张文治等。

本书的问世得到了系领导及同行们的热情关心与大力支持，编写过程中参阅了大量书籍，引用了一些典型例子等，恕不一一指明出处及相关作者，在此一并向他们表示衷心的感谢！

鉴于编者水平有限，疏漏与不当之处在所难免，恳切希望同行及读者给予批评指正。

编 者

2005年5月

第1章 行列式 1
本章学习目标 1
1.1 全排列及其逆序数 1
1.1.1 排列与逆序 1
1.1.2 对换 2
1.2 行列式的概念 3
1.2.1 二、三阶行列式 3
1.2.2 n阶行列式的定义 7
1.3 行列式的性质 10
1.4 行列式按行（列）展开 15
1.4.1 行列式按某一行（列）展开 15
1.4.2* 行列式按某k行（列）展开 20
1.5 克拉默（Cramer）法则 22
本章小结 26
习题1 27
第1章同步测试题 30
第2章 矩阵 34
本章学习目标 34
2.1 矩阵的概念 34
2.1.1 矩阵的定义 34
2.1.2 几种特殊形式的矩阵 35
2.2　矩阵的运算 37
2.2.1 矩阵的线性运算 37
2.2.2 矩阵与矩阵相乘 38
2.2.3 矩阵的转置 43
2.2.4 方阵的行列式 44
2.2.5 共轭矩阵 45
2.3 逆矩阵 45
2.3.1 逆矩阵的定义及性质 46
2.3.2 方阵A可逆的充分必要条件及A-1的求法 47
2.4 分块矩阵 52
2.4.1　分块矩阵的概念 52
2.4.2 分块矩阵的运算 54
2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 58
2.5.1 矩阵的初等变换 58
2.5.2 初等矩阵 59
2.6 矩阵的秩 63
2.6.1 矩阵秩的定义 63
2.6.2 矩阵秩的性质 64
2.6.3 初等变换求矩阵的秩 64
本章小结 66
习题2 67
第2章同步测试题 70
第3章 向量组的线性相关性 74
本章学习目标 74
3.1 n维向量 74
3.1.1 n维向量的定义 74
3.1.2　n维向量的线性运算 76
3.2 向量组的线性相关性 77
3.2.1　向量组的线性组合 77
3.2.2 向量组的线性相关与线性无关 78
3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件 79
3.3 线性相关性的判别定理 84
3.4 向量组的秩 87
3.4.1 向量组等价的概念 87
3.4.2　极大线性无关组与向量组的秩 88
3.4.3　向量组的秩与矩阵秩的关系 91
3.4.4 初等变换求向量组的秩 91
3.5 向量空间 94
3.5.1 向量空间的概念 94
3.5.2 向量空间的基与维数 96
本章小结 97
习题3 98
第3章同步测试题 100
第4章 线性方程组 103
本章学习目标 103
4.1 齐次线性方程组 103
4.2 齐次线性方程组解的结构 104
4.3 非齐次线性方程组解的结构 111
本章小结 117
习题4 118
第4章同步测试题 120
第5章 相似矩阵 125
本章学习目标 125
5.1 方阵的特征值与特征向量 125
5.1.1 方阵的特征值、特征向量与特征多项式 125
5.1.2 特征值的性质 135
5.1.3 特征向量的性质 137
5.2 相似矩阵 139
5.2.1 相似矩阵的概念 139
5.2.2 相似矩阵的性质 140
5.3 向量的内积、正交化方法 147
5.3.1 向量的内积 147
5.3.2 向量的长度 149
5.3.3 正交向量组 150
5.3.4 正交化方法 152
5.3.5 正交矩阵 154
5.4 实对称矩阵的对角化 156
5.4.1 实对称矩阵的性质 156
5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 157
本章小结 163
习题5 168
第5章同步测试题 170
第6章 二次型 174
本章学习目标 174
6.1 二次型及其矩阵表示 174
6.1.1 合同矩阵 174
6.1.2 二次型及其矩阵表示 175
6.2 化二次型为标准形 177
6.2.1 二次型的标准形 177
6.2.2 用正交变换法化二次型为标准形 178
6.2.2 用配方法化二次型为标准形 179
6.3 正定二次型 183
*6.4 二次型的应用举例 186
6.4.1 二次曲面方程的化简 186
6.4.2 求多元可导函数的极值点 188
6.4.3 瑞利（Rayleigh）商 189
本章小结 190
习题6 194
第6章同步测试题 195
第7章 线性空间与线性变换 198
本章学习目标 198
7.1 n维线性空间 198
7.1.1 n维线性空间的概念 198
7.1.2 基、维数与坐标 201
7.1.3 基变换与坐标变换公式 203
7.2 线性变换 208
7.2.1 线性变换的定义 208
7.2.2 线性变换的简单性质 209
7.2.3 线性变换的运算 210
7.3 线性变换的矩阵表示 213
7.3.1 线性变换在一个基下的矩阵 213
7.3.2 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 217
7.3.3 线性变换运算所对应的矩阵 218
7.3.4 线性变换A的矩阵为对角矩阵的充要条件 219
本章小结 219
习题7 222
第7章同步测试题 225
第8章＊ Mathematica软件应用 227
8.1 行列式与矩阵的运算 227
8.1.1 实验目的 227
8.1.2 内容与步骤 227
8.2 线性方程组的求解 229
8.2.1 实验目的 229
8.2.2 内容与步骤 230
8.3 施密特正交化和二次型的标准化 233
8.3.1 实验目的 233
8.3.2 内容与步骤 233
附录　习题、同步测试题提示及参考答案 237
参考文献 266

1. 线性代数导学篇 [主编 史昱]
2. 线性代数 [主编 史昱 陈凤欣]
3. 线性代数 [主编 惠小健 王震 卢鸿艳]
4. 深入浅出线性代数 [邓子云]
5. 线性代数 [主 编 唐再良 何红洲]
6. 线性代数（第二版）学习指导与习题解答 [主编 孙月芳]
7. 线性代数（第二版） [主 编 张翠莲]
8. 线性代数 [主编 杨振起 史昱]
9. 经济数学——线性代数 [主编 李宗强 史昱]
10. 经济应用数学基础（二）线性代数（第四版）全程辅导及习题精解 [郭志梅]
11. 经济数学——线性代数（第二版）同步辅导及习题全解 [刘波]
12. 线性代数（第五版）同步辅导及习题全解 [郭志梅 王曙东]
13. 线性代数 [郑旭东 董胜伟]
14. 线性代数（第四版）同步辅导及习题全解 [主编 郭志梅 王曙东]
15. 线性代数 [牛莉 主编]
16. 线性代数 [张翠莲 主编]
17. 线性代数（第五版）同步辅导及习题全解 [郭志梅 王曙东 主编]