应用数学基础

本书是基于高等数学课程教学改革与实践的成果，以李先明教授主编的《高等应用数学基础》为基础编写而成的。内容包含矩阵及运算、线性方程组、行列式与特征值、随机事件及概率、随机变量及数字特征、参数估计与假设检验、方差分析与回归分析、数学实验，共8 章。

充分运用现代教育思想（形象思维、微元法思想、符号使用技巧等），重点突出知识的应用，引入数学建模思想及数学实验内容，为工程类与经济类的学生搭建学习高等数学的公共平台，成为学生掌握数学工具、构建自己的数学知识体系的良师益友。

该书结合内容的展示，提供多角度观察事物的方法，使读者从不同方向、不同层面、不同角度认识数学，观察事物，掌握数学原理、方法、应用数学知识的例证（原型）。

本书是基于高等数学课程教学改革与实践的成果编著而成的。2005～2008年，结合应用型人才培养的需要，我们进行了“以提高数学应用能力为目标”的高等数学课程教学改革。教学实践中，一是增加了数学应用方面的案例，减少了数学理论和推导内容；二是加强直观性教学和计算机应用教学。2007年主编了理工类和财经类《高等数学》教材，主要特点：一是，以清晰准确的数学语言表述抽象的数学概念，将基本理论的教学与应用相结合；将抽象的数学概念与方法尽可能与专业相结合，理论联系实际；将实际问题转化为用数学理论来解释，并用数学的方法来解决，为以后的数学建模奠定基础；二是，突出专业特点，讲清讲透专业所需数学理论知识，贯穿数学为专业服务的基本思想。

2009～2013年，根据应用技术人才培养的需要进行了“以构建学生自己的数学知识体系为目标”的高等数学课程教学改革。我们以现代教育技术为基础，视数学工具、数学方法、数学美学、数学文化为一个教学整体，结合高等职业教育对象的特点设计数学教学内容体系。在教学内容设计上，力求使学生进一步了解数学思想和文化、知道更多的数学方法、熟悉一些本专业的数学应用；在数学教学过程设计上，以教师和学生学习成果相互转化为主要教学形式，以构建学生自己的数学知识体系为目的；在教学手段和教学方法设计上，注重学生的“自主性”和“实践性”，营造自主、生动、合作、尊重的学习环境；在学生成绩评定上，注重学生学习过程考核和实践性考核。我们将《高等数学》课程的内容设计成一元函数微积分、多元函数微积分、线性代数（矩阵及其运算、线性方程组）、概率统计（随机事件及概率、随机变量及数字特征、参数估计与假设检验）、数学实验（软件功能集成、软件在高等数学中的应用）五大模块，其中一元函数微积分是基础模块，土建类、制造类、电子信息类、财经类各专业学生均要求学习，其余模块根据专业课程学习的需要开设。在基础模块上，我们力求做到适应多岗位、便于转岗需要，在知识应用方面尽可能使学生既懂工程应用又懂经济应用。第一次将数学实验内容纳入全校高等数学课程教学内容。课外组织学生参加“大学生数学建模”训练和竞赛，达到数学建模教学目的。在教学实践过程中，一是强化数学思想、数学方法教学，引进数学实验教学内容，降低传统计算方法教学内容比重；二是强化专业数学应用教学。

同期主编了理工类和财经类同一平台的《高等应用数学基础》教材，主要特点：一是充分运用现代教育思想（形象思维、微元法思想、符号使用技巧等），希望学生获得极强的理性思维训练；二是重点突出知识的应用，希望拓展学生的数学应用空间；三是引入数学建模思想及数学实验内容，希望学生获得数学美的熏陶；四是为工程类与经济类的学生搭建了学习高等数学的公共平台，希望成为学生掌握数学工具、构建自己的数学知识体系的良师益友；五是结合内容的展示提供多角度观察事物的方法，使读者从不同方向、不同层面、不同角度认识数学知识，观察事物，掌握数学原理、方法、应用数学知识的例证（原型）；六是提供了主要内容的学习、讲授方法，提供了处理抽象理论、常见问题分析和解决的方法，以及对抽象事物的认识方法。

2014～2015年，我们在总结分析十年数学课程教学改革与实践经验教训的基础上进行了“高校转型发展应用技术人才培养之数学教育整合研究”。研究表明：大学数学课程是应用技术专业的重要基础课程，学习价值不仅体现在对专业理论学习的消化理解上，最终也体现在学生的专业实践上，应用技术专业的毕业生将来在从事技术生产的过程中离不开识别、分析、计算、模拟实验、推断和决策等基本能力，这些能力的形成在一定程度上依赖于数学。教学目的首先是培养学生的基本数学素质（了解数学文化，会用数学思想和方法解决实际问题，会用数学技术、数学实验、数学理论等现代数学解决高新技术发展中的实际问题）和创造性（发现、发明），其次是为专业课的学习打下量化分析和理性思维的基础。大学数学教育在高等职业教育中具有五大作用，即大学数学是学生掌握数学工具的主要课程，是培养学生理性思维的重要载体，是学生接受美感熏陶的一种途径，是数学文化传承的主要形式，是掌握高新技术的有效途径。

因此，我们构建了“基于基础数学教育、应用数学教育、数学技术教育”的高等数学课程教育教学内容体系，教学内容包含于《数学文化概要》《微积分及其应用》《应用数学基础》《数学技术教育基础》等教材之中。

该系列教材由重庆工商职业学院的李先明教授和刘彦辉副教授主持编写，负责思想原则确立、内容设计、统稿和定稿工作。参加本书主要编写工作的有重庆工商职业学院的敖开云副教授、张静讲师、姚素芬讲师、时耀敏讲师。另外参加本书部分编写工作的还有王正均（重庆电子工程职业技术学院副教授）、陈德林（重庆水利电力职业技术学院副教授）、唐希平（重庆巴渝职业技术学院副教授）、刘光（重庆城市管理职业学院教授）、郭渝生（重庆青年职业技术学院副教授）、刘家英（重庆医药高等专科学校副教授）、许院年（重庆工商职业学院副教授）、杨俊（重庆航天职业技术学院副教授）。

本书共8章：矩阵及运算、线性方程组、行列式与特征值、随机事件及概率、随机变量及数字特征、参数估计与假设检验、方差分析与回归分析、数学实验。每章后面配有基本练习题，要求读者独立完成，题目答案可通过简单演算获得，也可通过数学实验的方法获得。另外，难度较大的题目已放入数学实验教学内容之中。习题难度按大专以上水平设计。

我们认为，高等职业教育已进入内涵建设阶段，数学课程教学改革任重道远，希望凭借此书吸引更多的同仁参与数学课程教育研究，推动我国高等职业教育更快地发展。

前言
第1章 矩阵及运算 1
1.1 矩阵的概念 1
1.1.1 矩阵的定义 1
1.1.2 常见的特殊矩阵 2
1.2 矩阵的运算 3
1.2.1 矩阵相等 3
1.2.2 矩阵的线性运算 3
1.2.3 矩阵的乘法 5
1.2.4 矩阵的转置 7
1.3 矩阵的初等行变换 8
1.3.1 矩阵的初等行变换 8
1.3.2 矩阵的秩及求法 9
1.4 方阵的逆矩阵 11
1.4.1 逆矩阵的定义 11
1.4.2 逆矩阵的初等行变换求法 12
习题1 13
第2章 线性方程组 16
2.1 线性方程组的基本概念 16
2.1.1 基本概念 16
2.1.2 线性方程组解的判定 17
2.2 高斯消元法 20
*2.3 线性空间 24
2.3.1 n维向量及n维向量组的线性相关性 24
2.3.2 向量空间 26
2.4 基础解系及通解 27
2.5 线性方程组的综合应用 30
习题2 34
第3章 行列式与特征值 39
3.1 行列式及其计算 39
3.1.1 二阶、三阶行列式 39
3.1.2 n阶行列式 40
3.1.3 行列式的应用 42
3.2 矩阵的特征值和特征向量 46
3.3 特征值、特征向量的基本性质 50
3.4 相似矩阵 52
3.4.1 相似矩阵的定义 52
3.4.2 相似矩阵的性质 53
3.4.3 方阵对角化 54
3.5 实对称矩阵的对角化 59
习题3 62
第4章 随机事件及概率 66
4.1 随机事件 66
4.1.1 随机事件 66
4.1.2 事件间的关系与运算 67
4.2 随机事件的概率 68
4.2.1 随机事件概率的定义 68
4.2.2 概率的加法公式 70
4.2.3 乘法公式及条件概率 71
4.2.4 全概率与贝叶斯公式 72
4.3 贝努利概型 76
4.3.1 事件的独立性 76
4.3.2 贝努利概型 78
习题4 79
第5章 随机变量及数字特征 81
5.1 离散型随机变量 81
5.1.1 离散型随机变量的概率分布与分布函数 81
5.1.2 几种重要的离散型随机变量 83
5.2 连续型随机变量的概率密度 85
5.2.1 连续型随机变量的概念与分布函数 86
5.2.2 几个常用的连续型随机变量的分布 87
5.3 随机变量的数学期望 91
5.3.1 离散型随机变量的数学期望 91
5.3.2 连续型随机变量的数学期望 93
5.3.3 数学期望的性质及矩 94
5.4 随机变量的方差 94
5.4.1 方差的概念 94
5.4.2 方差的性质 95
5.4.3 常见分布的期望与方差 95
*5.5 n维随机变量简介 97
5.5.1 二维随机变量及其分布 97
5.5.2 n维随机变量及其分布 98
5.5.3 协方差与相关系数 98
习题5 99
第6章 参数估计与假设检验 101
6.1 总体、样本、统计量 101
6.1.1 总体与样本 101
6.1.2 统计量 101
6.2 期望与方差的点估计 104
6.2.1 矩估计 104
6.2.2 极大似然估计 106
6.3 期望与方差的区间估计 106
6.4 最小二乘估计 108
6.5 几种常见的假设检验法则 109
6.5.1 假设检验的几个步骤 109
6.5.2 U检验法 110
6.5.3 T检验法 110
6.5.4 检验 113
习题6 115
第7章 方差分析与回归分析 118
7.1 方差分析 118
7.1.1 方差分析的基本思想和原理 119
7.1.2 单因素方差分析 120
7.1.3 双因素方差分析 126
7.2 一元线性回归分析 134
7.2.1 回归模型 135
7.2.2 回归模型建立的方法—最小二乘法 135
习题7 140
第8章 数学实验 143
8.1 MATLAB基础知识 143
8.1.1 MATLAB文件的编辑、存储和执行 143
8.1.2 MATLAB基本运算符及表达式 145
8.1.3 MATLAB变量命名规则 146
8.1.4 数值计算结果的显示格式 146
8.1.5 MATLAB指令行中的标点符号 147
8.1.6 MATLAB指令窗的常用控制指令 147
8.2 MATLAB在线性代数中的应用 148
8.2.1 数值矩阵的生成 148
8.2.2 符号矩阵的生成 149
8.2.3 特殊矩阵的生成 150
8.2.4 矩阵运算 155
8.2.5 矩阵分解 157
8.2.6 线性方程组的求解 160
8.2.7 特征值与二次型 163
8.2.8 秩与线性相关性 165
8.3 统计与检验 167
8.3.1 数据统计处理 167
8.3.2 求离散型随机变量的数学期望 168
8.3.3 求离散型随机变量的样本方差 168
8.3.4 常见分布的密度函数图形 169
8.3.5 正态分布的参数估计 171
8.3.6 已知，单个正态总体的均值μ的假设检验 172
8.3.7 未知，单个正态总体的均值μ的假设检验 173
8.3.8 统计作图 174
附表1 泊松分布数值表 180
附表2 标准正态分布函数值表 183
附表3 T分布的双侧临界值表 184
附表4 T分布的单侧临界值表 185
附表5 分布表 186
附表6 F分布表 188

1. 应用数学 [梁玮 蔡超 高志]
2. 大学应用数学 [主编 郭立娟]
3. 应用数学 [主编 刘东海 刘丽瑶]
4. 应用数学（第二版） [主编 刘丽瑶]
5. 应用数学（第二版•下册） [主 编 孙振营 徐自立]
6. 应用数学（第二版•上册） [主编 孙振营 夏云青]
7. 工程应用数学（机电、汽车类） [主编 吴白旺 杨勇]
8. 经济应用数学基础（一）微积分（第三版）全程辅导及习题精解 [冯君淑]
9. 经济应用数学基础（二）线性代数（第四版）全程辅导及习题精解 [郭志梅]
10. 应用数学 [刘丽瑶]
11. 高等应用数学（工科、经管类）（下册） [主编 杨勇 黄庆波]
12. 高等应用数学（上册）（工科、经管类） [杨勇 黄庆波]
13. 应用数学（下册） [孙振营 主 编 ]
14. 应用数学（上册） [孙振营 主 编 ]
15. 高等应用数学基础 [李先明 主编]