大学应用数学（第二版）

本书是根据教育部制定的《高职高专教育高等数学课程教学基本要求》，结合目前职业教育专科层次教材针对性较差的实际情况而编写的。

对于普通高等学校(包括高职院校)理工类电气自动化、电子信息、通信技术等专业来说，数学是一门非常重要的基础课，因为电气工程中的电路分析涉及大量的高等数学知识。然而，目前我国高职高专(高等数学)教材仍然沿袭着传统的学科体系思想，只讲授纯粹的数学知识，根本没有体现数学在电类专业中的广泛应用。这样的课程既不符合高校学生的实际水平，也不符合高校电类专业相关课程的教学需要，为了更好地给电类专业学生的课程学习和技术能力的发展提供有效的支撑，我们尝试着改革传统的高等数学课程，重建和编写一本适合于高职高专电类专业的应用数学教材。

在本书编写过程中，编者与学院电类专业任课教师交流，充分采纳各方面的建议，贯彻“以应用为目的，以够用为度”的原则，注重对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，并遵循“突出思想分析，立足能力培养，强化实际应用”的理念，尽可能做到深入浅出、由易到难，切合高职高专教育的教学规律，力求使学生及教师使用方便。更为重要的是，我们选取了大量与电路分析密切相关的例题和习题，将它们编排到相应知识的教学过程中，使之广泛而深入地融合到数学中，这是我们在高等职业教育领域数学课程改革与创新中的一个大胆而有益的探索。

为改变当前教材所需学时数与实际学时数脱节的状况，我们根据目前数学教材中存在的问题进行了学时数压缩和部分章节内容的增删、调整与合并。

本次编写旨在打造具有特色、体现信息化技术发展要求的高职高专数学教材。具体来说，本书具有以下特色：

（1）层次分明，语言简练。本书内容共分10章，每个章节的知识由易到难逐步深入，为体现高职教育特色，本书在叙述上浅显易懂，注重数学概念的直观解释和数学思想方法的渗透，定理的表述自然、简明，可让学生无障碍学习。

（2）引例导入，结合专业。本书许多知识点都通过引例导入，让学生带着问题学习，能有效激发学生的学习兴趣。这些引例来源于专业和生活，加强了数学与专业及生活的联系，有利于培养学生的数学应用意识，提高数学知识的应用能力。

（3）选题全面，学练结合。本书不仅在正文中穿插有精选的例题，帮助学生及时理解相关的数学概念，也在每节后配有多种类型的习题，帮助学生梳理知识脉络，掌握基础知识和常用的数学方法。

（4）资源丰富，助力教学。本书构建了立体化的教学资源体系，配套提供习

题、微课视频（为顺应移动学习和碎片化学习的趋势，针对重点、难点知识精心录制）及功能完善的在线教学平台，全方位支持教与学，帮助学生巩固知识、加深理解，有效提高学习效率。

本书由长沙航空职业技术学院郭立娟任主编，麻晓刚、徐小蓉、汪朝晖、吴跃明、龚碧玲、陈立东、雷志金、戴庆华、黄明秋参与编写。全书由郭立娟统稿，朱国军审核。

在本书编写过程中，我们参考了众多院校教师编写的教材和相关资料，在此表示感谢，同时也对我校积极支持本教材编写和出版的各位领导致谢。

由于编者水平有限及时间仓促，书中难免有欠缺和不妥之处，恳请读者提出宝贵意见，以便我们进行修订和完善。

编 者

2026年3月

前 言
第1章　极限与连续1
1.1　函数1
1.1.1　区间和邻域2
1.1.2　函数的定义3
1.1.3　函数的四种特性4
1.1.4　反函数7
1.1.5　初等函数7
1.1.6　建立函数关系举例12
习题1.114
1.2　极限的概念15
1.2.1　数列的极限16
1.2.2　函数的极限17
习题1.220
1.3　极限的计算21
1.3.1　极限的四则运算
法则21
1.3.2　无穷小与无穷大 22
1.3.3　常见的几个求函数极限的方法25
1.3.4　重要极限
和26
习题1.328
1.4　函数的连续性29
1.4.1　函数在点处的
连续性 29
1.4.2　函数在区间上的
连续性31
1.4.3　函数的间断点32
1.4.4　初等函数的连续性33
1.4.5　闭区间上连续函数的
性质34
习题1.435
第2章　导数与微分36
2.1　导数的概念36
2.1.1　引例36
2.1.2　导数的定义38
2.1.3　求导数举例 39
2.1.4　导数的几何意义42
2.1.5　可导与连续的关系43
习题2.145
2.2　函数的和、差、积、商的
求导法则45
习题2.249
2.3　复合函数的求导法则49
2.3.1　复合函数的求导
法则50
2.3.2　高阶导数52
习题2.354
2.4　函数的微分54
2.4.1　微分的定义55
2.4.2　微分的几何意义56
2.4.3　微分公式与微分运算
法则57
2.4.4　微分在近似计算中的
应用59
习题2.461
第3章　导数的应用63
3.1　洛必达法则63
3.1.1　未定式型极限的
求法63
3.1.2　未定式型极限的
求法64
3.1.3　其他类型的未定式
极限的求法66
习题3.167
3.2　函数的单调性和极值68
3.2.1　函数的单调性68
3.2.2　函数的极值70
习题3.275
3.3　函数的最大值和最小值75
3.3.1　求闭区间上连续函数的最大值和最小值76
3.3.2　实际问题应用 77
习题3.379
第4章　不定积分81
4.1　原函数与不定积分的概念81
4.1.1　原函数的概念81
4.1.2　不定积分的定义82
4.1.3　不定积分的性质83
4.1.4　不定积分的几何意义83
习题4.185
4.2　不定积分的运算法则与直接
积分法85
4.2.1　不定积分的基本公式86
4.2.2　不定积分的基本运算
法则87
4.2.3　直接积分法88
习题4.289
4.3　不定积分的换元积分法90
4.3.1　第一类换元法（凑
微分法）90
4.3.2　第二类换元法96
习题4.399
4.4　分部积分法100
习题4.4102
第5章　定积分及其应用103
5.1　定积分的概念与性质103
5.1.1　两个引例103
5.1.2　定积分的定义106
5.1.3　定积分的几何意义108
5.1.4　定积分的基本性质110
习题5.1111
5.2　微积分基本公式112
5.2.1　积分上限的函数
及其导数112
5.2.2　微积分基本公式113
习题5.2115
5.3　定积分的换元积分法
与分部积分法115
5.3.1　定积分的换元
积分法116
5.3.2　定积分的分部
积分法118
习题5.3120
5.4　定积分的应用120
5.4.1　定积分的微元法121
5.4.2　定积分的应用122
习题5.4126
5.5　广义积分127
5.5.1　无穷区间上的
广义积分127
5.5.2　无界函数的
广义积分128
习题5.5130
第6章　常微分方程131
6.1　微分方程的基本概念131
6.1.1　两个引例131
6.1.2　微分方程的解133
习题6.1134
6.2　一阶微分方程135
6.2.1　可分离变量的
微分方程135
6.2.2　一阶线性微分方程137
习题6.2141
6.3　二阶常系数齐次线性
微分方程141
6.3.1　二阶常系数齐次
线性微分方程142
6.3.2　齐次线性微分方程
解的结构142
6.3.3　二阶常系数齐次线性
微分方程的解143
6.3.4　常见二阶常系数非齐次线性微分方程的解145
习题6.3150
第7章　向量与复数151
7.1　向量151
7.1.1　向量的概念151
7.1.2　向量的表示法152
7.1.3　空间向量的坐标
表示法152
习题7.1155
7.2　向量的运算156
7.2.1　向量的线性运算 156
7.2.2　向量的数量积运算159
7.2.3　向量的向量积运算161
习题7.2163
7.3　复数164
7.3.1　复数的概念164
7.3.2　复数的四种表达
方式166
7.3.3　正弦量的相量表示168
习题7.3169
7.4　复数的运算170
7.4.1　复数的加减运算171
7.4.2　复数的乘除运算172
7.4.3　复数的乘除运算一般
使用三角函数形式或
极坐标形式174
习题7.4176
第8章　无穷级数177
8.1　常数项级数177
8.1.1　常数项级数的
概念177
8.1.2　收敛级数的基本
性质179
习题8.1180
8.2　常数项级数的审敛法180
8.2.1　正项级数及其
审敛法180
8.2.2　交错级数及其
审敛法184
8.2.3　任意项级数 绝对
收敛与条件收敛185
习题8.2186
8.3　幂级数187
8.3.1　函数项级数的概念187
8.3.2　幂级数及其收敛性188
8.3.3　幂级数的性质190
习题8.3192
8.4　函数展开成幂级数192
8.4.1　泰勒级数193
8.4.2　函数展开成幂级数194
8.4.3　幂级数在近似计算
中的应用197
习题8.4200
8.5　傅里叶级数200
8.5.1　三角级数　三角函数系的正交性200
8.5.2　以为周期的函数
展开成傅里叶级数201
8.5.3　正弦级数和
余弦级数205
8.5.4　以2l为周期的函数
展开成傅里叶级数209
习题8.5211
第9章　积分变换212
9.1　傅里叶积分变换212
9.1.1　傅里叶积分变换的
概念212
9.1.2　单位脉冲函数的定义
及其傅里叶变换214
9.1.3　傅里叶变换的性质215
9.1.4　求函数的傅里叶变换
举例217
习题9.1218
9.2　拉普拉斯变换218
9.2.1　拉普拉斯变换的
概念219
9.2.2　拉普拉斯变换与
逆变换的性质 220
9.2.3　拉普拉斯变换的
应用224
习题9.2230
第10章　概率论基础232
10.1　概率的基本概念232
10.1.1　排列与组合233
10.1.2　随机现象的描述235
习题10.1242
10.2　随机事件的概率243
10.2.1　概率的定义及
性质243
10.2.2　频率与直方图246
10.2.3　概率的古典定义248
习题10.2251
10.3　概率的乘法公式
与条件概率252
10.3.1　条件概率252
10.3.2　乘法公式254
10.3.3　事件的独立性
与伯努利概型255
习题10.3260
10.4　随机变量及其分布261
10.4.1　离散型随机变量
及常见分布261
10.4.2　连续型随机变量
及常见分布265
10.4.3　随机变量的分布
函数270
10.4.4　随机变量函数的
分布272
习题10.4275
10.5　数学期望与方差276
10.5.1　随机变量的数学
期望277
10.5.2　随机变量取值的
波动状态——方差280
习题10.5283
附　录285
参考文献289

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2. 用英语讲中国故事：高频1000词 [胡玉 编著]
3. AIGC通识与应用（微课版） [主编　林朝平 杨静 ]
4. 数字技术应用 [主编 马永生 姚雪 于德萍]
5. 贵州电网有限责任公司安全监管专业技术人员典型业务知识及案例汇编 [主编 黎安俊 赵凤仪 娄方桥]
6. 算法分析与设计（基于 Python 语言） [主编 王璐烽　张光晨　冯占伟]
7. 大学计算机——人工智能与数字素养 [主编　王家宁　张世龙]
8. 物流中心作业设计与实施 [主编　孙瑞者]
9. 人工智能技术应用项目式教程 [主编　孙丰伟]
10. 融合多因素的位置服务隐私保护：从理论到方法 [李勇军 余雨萍 著]
11. 电力系统继电保护 [主编 王志华 蔡红梅 郭英芳]
12. 风电机组运行与维护 [主编 巩真 呼吉亚 班淑珍]
13. Python程序设计 [主编 卢山]
14. 信息科技基础（上下册） [主编 闵笛 彭增焰]
15. 信息素养与人工智能基础实验教程 [主 编　罗奕 钱前]
16. 藏香鸡高效健康养殖与疾病防控 [黄增文 陈意群 王中成 等 著]
17. 大学物理实验（第三版） [主编 张强 李含 孙耀强]
18. 人工智能通识课实践教程 [主编　冯大春　刘双印　胡海艳]
19. 中学物理实验训练简明教程 [主编 黄永平 吴英]
20. 数据库原理及应用 [主编 解启娜 曾安平 张航旗]
21. 推荐算法 [顾爽 著]
22. 机电设备装配与维修 [主编　周锡]
23. 人工智能赋能教师发展研究与实践 [吴涛 余光华 闵笛 著]
24. 普通机床的零件加工 [主编　周锡　龙育才]
25. 影响你一生的英语背诵范文大全·栀子花开（2000 词汇量版）（第2版） [主编 张元婧　宋歌　成晔]
26. AIGC基础与应用 [主编 彭波 谢崇波]
27. 人工智能技术应用项目式教程 [主编 孙丰伟]
28. 网络安全运维实践教程 [主编 谷胜伟]
29. C语言程序设计（第二版） [主编 姜雪]
30. 商业摄影 [彭湘]