计算方法

内容翔实—基于高等数学和线性代数，介绍计算机中常用的数值计算方法。

理实一体—通过丰富的练习题、实验题和参考程序，提高读者的应用能力。

主次分明—简化复杂的推导和论证，重点讲解算法的原理及其实现过程。

工程与科学计算的问题往往需要用高效、快速、稳定并可靠的方法进行求解。对此，人们很早就开始进行思考和探索。时至今日，已涌现了很多优秀的计算方法。电子计算机的出现、网络的普及以及其他信息技术的发展，更是极大加速了这种探索与实践，推动大规模、高速计算方法不断涌现并广泛应用，成为社会发展的重要推动力。在信息化时代的今天，拥有基本的计算思维并掌握常用的计算方法已成为科技人员必备的基本科学素养之一，也是新时代人才培养的必然要求。

本书是为理工科（非数学类）专业本科生培养目标而编写的，其出发点是传播计算思维，普及常用计算方法。本书以基础知识为核心，突出算法的原理及其实现过程，对一些繁难的推导和论证适当简略。在为各章节配置适量练习题和实验题的基础上，在每章（除第1章）最后一节专门列出该章绝大部分算法的初步MATLAB程序，并附有验算示例，读者可在此基础上进一步优化和改进，完善程序，提升实践实操能力。

本书共7章。第1章绪论由徐应祥编写；第2章非线性方程求解由刘莉编写；第3章线性方程组的数值解法由席亚编写；第4章矩阵特征值与特征向量由潘丽华编写；第5章插值法与曲线拟合法由袁国智编写；第6章数值积分与数值微分由方晓静编写；第7章常微分方程数值解法由陈月球编写。教师可根据教学实际情况，对教学内容进行适当取舍。

本书主编徐应祥除了负责编写相应章节和统稿，还编写和整理了本书所有的MATLAB程序，并进行了上机测试。本书的编写还得到了张超龙、杨志伟、叶远兰同志的指导和大力支持。蔡彤萍、陈凯璇、金建菲、刘思婷、李嘉华五位同学也帮助搜集和整理了部分资料。本书在编写过程中还参考了很多优秀的教材和专著，在此一并表示深深的谢意。

由于水平有限，本书难免有错误或疏漏之处，敬请读者批评指正。

编 者

2026年2月

第1章 绪论 1
1.1 数值计算方法引论 1
1.2 数值计算中的误差 3
1.2.1 误差来源与分类 3
1.2.2 绝对误差与相对误差 4
1.2.3 有效数字 4
1.3 数值计算中误差的传播 6
1.3.1 基本运算中的误差估计 6
1.3.2 病态问题与条件数 8
1.3.3 数值方法的稳定性 9
1.4 数值计算中应注意的问题 11
练习1 15
实验1 15
第2章 非线性方程求解 16
2.1 二分法 16
2.2 简单迭代法及其收敛性 20
2.2.1 不动点迭代法 20
2.2.2 迭代法的收敛性 22
2.3 迭代收敛的加速方法 24
2.3.1 埃特金加速收敛方法 24
2.3.2 斯蒂芬森迭代法 25
2.4 牛顿法 27
2.4.1 牛顿法概述 27
2.4.2 牛顿法的收敛性与初值的选择 29
2.4.3 隐函数方程 31
2.5 弦截法 32
2.6 非线性方程组的解法 33
2.7 主要算法程序 35
2.7.1 观察方程在某区间内实根的
大概位置 35
2.7.2 求二次方程实根 36
2.7.3 二分法求非线性方程的根 37
2.7.4 简单迭代法和斯蒂芬森迭代法的过程 38
2.7.5 牛顿法 39
2.7.6 牛顿法解隐函数方程举例 39
2.7.7 弦截法 40
2.7.8 牛顿法解非线性方程组举例 40
练习2 41
实验2 42
第3章 线性方程组的数值解法 43
3.1 消去法 44
3.1.1 三角方程组的解法 44
3.1.2 高斯消去法 44
3.1.3 高斯消去法的条件 48
3.1.4 高斯消去法的计算量 49
3.2 主元素法 50
3.2.1 引例 50
3.2.2 列主元与全主元消去法 51
3.3 直接三角分解法 53
3.3.1 高斯消去法的矩阵形式 53
3.3.2 直接三角分解法概述 54
3.3.3 解三对角方程组的追赶法 58
3.4 平方根法与改进的平方根法 61
3.4.1 平方根法 61
3.4.2 改进的平方根法 63
3.5 向量和矩阵的范数 66
3.5.1 向量的范数 66
3.5.2 矩阵的范数 67
3.6 误差分析 72
3.6.1 方程组的性态与条件数 72
3.6.2 病态方程组的解法 75
3.7 解线性方程组的简单迭代法 78
3.7.1 简单迭代法 79
3.7.2 简单迭代法的收敛性与误差估计 84
3.7.3 特殊方程组迭代法的收敛性 87
3.7.4 误差估计 88
3.7.5 迭代法的收敛速度与最佳松弛因子 89
3.8 主要算法程序 91
3.8.1 高斯消去法 91
3.8.2 列主元消去法 92
3.8.3 LU分解法 93
3.8.4 追赶法 94
3.8.5 对称正定方程的平方根法 95
3.8.6 改进的平方根法 96
3.8.7 雅可比迭代法 97
3.8.8 高斯—赛德尔迭代法 98
练习3 99
实验3 101
第4章 矩阵特征值与特征向量 102
4.1 幂法和反幂法 102
4.1.1 幂法 102
4.1.2 幂法的加速 106
4.1.3 反幂法 108
4.2 QR方法 110
4.2.1 QR分解 110
4.2.2 特征值的QR方法 113
4.3 对称矩阵的特征值 114
4.3.1 内积法 114
4.3.2 雅可比方法 115
4.4 主要算法程序 120
4.4.1 幂法 120
4.4.2 矩阵的豪斯霍尔德变换 120
4.4.3 矩阵的QR分解 121
4.4.4 QR方法的结束条件 122
4.4.5 QR方法 122
4.4.6 内积法 123
4.4.7 雅可比方法 123
练习4 124
实验4 125
第5章 插值法与曲线拟合法 127
5.1 插值法理论基础 127
5.1.1 插值法的基本概念 127
5.1.2 代数插值问题的误差 129
5.2 插值多项式的表达式 131
5.2.1 线性插值 131
5.2.2 二次插值 133
5.2.3 拉格朗日插值 134
5.3 均差与牛顿插值公式 135
5.3.1 均差及其性质 136
5.3.2 牛顿插值公式 139
5.4 差分与等距节点插值公式 142
5.4.1 差分及其性质 142
5.4.2 等距节点插值公式 144
5.5 埃尔米特插值 147
5.6 分段低次插值 150
5.6.1 高次插值的病态性质 150
5.6.2 分段线性插值 151
5.6.3 分段三次埃尔米特插值 154
5.7 三次样条插值 157
5.7.1 三次样条插值函数的概念 157
5.7.2 样条插值函数的建立 158
5.7.3 误差估计与收敛性 164
5.8 曲线拟合的最小二乘法 165
5.8.1 最小二乘法的基本原理 166
5.8.2 最佳平方逼近多项式的
存在唯一性 167
5.9 主要算法程序 171
5.9.1 拉格朗日插值 171
5.9.2 均差与牛顿插值 172
5.9.3 三次埃尔米特插值 173
5.9.4 三次样条插值函数（三弯矩法） 173
5.9.5 曲线拟合的最小二乘法 175
练习5 176
实验5 180
第6章 数值积分与数值微分 182
6.1 数值积分的基本概念 183
6.1.1 数值求积分的基本思想 183
6.1.2 代数精度的概念 184
6.1.3 插值型求积公式 185
6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 186
6.2 牛顿—柯特斯公式与低阶求积公式 187
6.2.1 牛顿—柯特斯公式 187
6.2.2 几种低阶求积公式 190
6.3 复化求积公式 193
6.3.1 复化梯形公式 193
6.3.2 复化辛普森公式 194
6.4 龙贝格求积方法 196
6.4.1 梯形公式的逐次分半算法 196
6.4.2 龙贝格求积公式 198
6.4.3 龙贝格求积公式的实现 199
6.5 高斯求积公式 201
6.5.1 高斯求积公式基本理论 202
6.5.2 高斯—勒让德求积公式 204
6.6 数值微分 207
6.6.1 利用差商求导数 208
6.6.2 利用插值函数求导数 210
6.7 主要算法程序 212
6.7.1 利用积分和近似求数值积分 212
6.7.2 辛普森公式 213
6.7.3 复化梯形公式 213
6.7.4 复化辛普森公式 214
6.7.5 自动选择步长的复化梯形公式 214
6.7.6 自动选择步长的复化辛普森
公式 215
6.7.7 自动选择步长的复化梯形法
（不需要调用其他程序） 215
6.7.8 龙贝格求积算法 216
6.7.9 自动选择步长的中点公式
数值微分 217
练习6 218
实验6 219
第7章 常微分方程数值解法 220
7.1 常微分方程数值方法的基本思想 220
7.1.1 用差商近似导数 221
7.1.2 用数值积分法 221
7.1.3 用泰勒展开法 222
7.2 欧拉法和改进的欧拉法 222
7.2.1 欧拉折线法 222
7.2.2 梯形公式 224
7.2.3 局部截断误差 225
7.2.4 预测—校正公式 226
7.3 龙格—库塔法 228
7.3.1 龙格—库塔法的基本思想 228
7.3.2 二阶龙格—库塔公式 229
7.3.3 三阶、四阶龙格—库塔公式 231
7.3.4 变步长的龙格—库塔法 233
7.4 单步法的相容性、收敛性与稳定性 234
7.4.1 相容性与收敛性 234
7.4.2 稳定性 236
7.5 线性多步法 238
7.5.1 阿达姆斯外插公式 238
7.5.2 阿达姆斯内插公式 240
7.5.3 阿达姆斯预测—校正公式 242
7.6 一阶常微分方程组与高阶方程 243
7.6.1 一阶常微分方程组 243
7.6.2 高阶常微分方程的初值问题 245
7.7 主要算法程序 247
7.7.1 欧拉法 247
7.7.2 预测—校正方法 248
7.7.3 四阶龙格—库塔法及四阶阿达姆斯预测—校正法 249
7.7.4 解高阶线性微分方程的四阶龙格—库塔法 249
练习7 250
实验7 252
练习题答案 253
参考文献 261

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2. 大学应用数学（第二版） [主编 郭立娟]
3. 人工智能系统部署与运维 [主编 牟鑫 谢宇]
4. 用英语讲中国故事：高频1000词 [胡玉 编著]
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6. 数字技术应用 [主编 马永生 姚雪 于德萍]
7. 贵州电网有限责任公司安全监管专业技术人员典型业务知识及案例汇编 [主编 黎安俊 赵凤仪 娄方桥]
8. 算法分析与设计（基于 Python 语言） [主编 王璐烽　张光晨　冯占伟]
9. 大学计算机——人工智能与数字素养 [主编　王家宁　张世龙]
10. 物流中心作业设计与实施 [主编　孙瑞者]
11. 人工智能技术应用项目式教程 [主编　孙丰伟]
12. 融合多因素的位置服务隐私保护：从理论到方法 [李勇军 余雨萍 著]
13. 电力系统继电保护 [主编 王志华 蔡红梅 郭英芳]
14. 风电机组运行与维护 [主编 巩真 呼吉亚 班淑珍]
15. Python程序设计 [主编 卢山]
16. 信息科技基础（上下册） [主编 闵笛 彭增焰]
17. 信息素养与人工智能基础实验教程 [主 编　罗奕 钱前]
18. 藏香鸡高效健康养殖与疾病防控 [黄增文 陈意群 王中成 等 著]
19. 大学物理实验（第三版） [主编 张强 李含 孙耀强]
20. 人工智能通识课实践教程 [主编　冯大春　刘双印　胡海艳]
21. 中学物理实验训练简明教程 [主编 黄永平 吴英]
22. 数据库原理及应用 [主编 解启娜 曾安平 张航旗]
23. 推荐算法 [顾爽 著]
24. 机电设备装配与维修 [主编　周锡]
25. 人工智能赋能教师发展研究与实践 [吴涛 余光华 闵笛 著]
26. 普通机床的零件加工 [主编　周锡　龙育才]
27. 影响你一生的英语背诵范文大全·栀子花开（2000 词汇量版）（第2版） [主编 张元婧　宋歌　成晔]
28. AIGC基础与应用 [主编 彭波 谢崇波]
29. 人工智能技术应用项目式教程 [主编 孙丰伟]
30. 网络安全运维实践教程 [主编 谷胜伟]