复变函数与积分变换

本书依据普通本科教育“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，精选教材内容。

本书从实际应用和后续专业课的需要出发，加强数学思想和数学概念与工程实际结合的特点，课程内容按照由浅入深，由具体到抽象，由特殊到一般的原则组织。

本书每章都有学习目标、小结、复习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

我国高等教育正在快速发展，教材建设也要与之适应，特别是教育部关于“高等教育面向21世纪内容与课程改革”计划的实施，对教材建设提出了新的要求。本书的编写目的就是为了适应高等教育的快速发展，满足教学改革和课程建设的需求，体现高等工科教育的特点。

本书依据普通本科教育“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，精心选择了教材的内容，结合从实际应用和学生学习后续专业课的需要出发，加强数学思想和数学概念与工程实际结合的特点，课程内容按照由浅入深，由具体到抽象，由特殊到一般的原则来组织，每章都有学习目标、小结、习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

全书内容包括：复数与复变函数、复变函数的极限与连续性，复变函数的导数、解析函数、初等解析函数，复变函数的积分，复变函数的幂级数和罗伦级数，留数与留数定理，傅立叶变换和拉普拉斯变换等。书后附有傅立叶变换表与拉普拉斯变换表，以及习题、自测题参考答案或提示。

本书既可作为理工科大学“复变函数与积分变换”课程的教材，也可供工程技术人员参考使用。

本书由翟秀娜担任主编并统稿，张翠莲担任副主编。各章编写分工如下：复变函数由翟秀娜编写，积分变换及书后附录由张翠莲编写。何春江、王晓威、邓凤茹、张文治、张钦礼、牛莉、曾大有等同志参加了本书编写的讨论及校对工作。

在本书的编写过程中，编者参考了很多相关的书籍和资料，采用了一些相关内容，汲取了很多同仁的宝贵经验，在此谨表谢意。

由于时间的仓促及作者水平所限，书中错误和不足之处在所难免，恳请广大读者批评指正，我们将不胜感激。

编 者

2015年12月

第1篇 复变函数
第1章 复数与复变函数 1
本章学习目标 1
1.1 复数及其运算 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的表示 2
1.1.3 复数的运算 5
1.1.4 复数的乘方与方根 6
1.2 平面点集与区域 8
1.2.1 复平面上的点集与区域 8
1.2.2 单连通域与多（复）连通域 10
1.3 复变函数 11
1.3.1 复变函数的概念 11
1.3.2 映射的概念 12
1.3.3 反函数与复合函数 13
1.4 复变函数的极限与连续性 14
1.4.1 复变函数的极限 14
1.4.2 复变函数的连续 15
本章小结 16
习题一 17
自测题一 18
第2章 解析函数 20
本章学习目标 20
2.1 复变函数的导数与微分 20
2.1.1 复变函数的导数 20
2.1.2 复变函数的微分 23
2.2 解析函数 24
2.2.1 解析函数的概念及其运算 24
2.2.2 柯西—黎曼条件 25
2.2.3 函数解析的充要条件 26
2.3 调和函数 28
2.3.1 调和函数 28
2.3.2 解析函数与调和函数的关系 28
2.4 初等函数及其解析性 30
2.4.1 指数函数 30
2.4.2 对数函数 31
2.4.3 幂函数 32
2.4.4 三角函数 33
2.4.5 反三角函数 35
*2.4.6 双曲函数与反双曲函数 35
本章小结 36
习题二 38
自测题二 39
第3章 复变函数的积分 40
本章学习目标 40
3.1 复变函数的积分 40
3.1.1 复变函数积分的概念 40
3.1.2 积分的存在性及其计算方法 41
3.1.3 积分的性质 43
3.2 积分基本定理 45
3.2.1 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 45
3.2.2 原函数与不定积分 45
3.2.3 基本定理的推广—复合闭路定理 47
3.3 柯西积分公式 48
3.4 解析函数的高阶导数 50
本章小结 51
习题三 52
自测题三 53
第4章 级数 55
本章学习目标 55
4.1 复数项级数与复函数项级数 55
4.1.1 复数项级数的概念 55
4.1.2 复数项级数的性质 56
4.1.3 复函数项级数 56
4.2 幂级数 57
4.2.1 幂级数的概念 57
4.2.2 收敛圆与收敛半径 57
4.2.3 幂级数在其收敛圆内的性质 59
4.3 泰勒级数 59
4.3.1 解析函数的泰勒展开式 59
4.3.2 初等函数的泰勒展开式 60
4.4 罗伦级数 61
4.5 孤立奇点 64
4.5.1 孤立奇点的概念及其分类 64
4.5.2 函数的零点与极点的关系 66
本章小结 67
习题四 68
自测题四 68
第5章 留数 70
本章学习目标 70
5.1 留数的概念及基本定理 70
5.1.1 留数的概念 70
5.1.2 留数定理 71
*5.1.3 在无穷远点的留数 75
5.2 留数在定积分计算中的应用 76
本章小结 78
习题五 79
自测题五 79
第2篇 积分变换
第6章 傅立叶变换 81
本章学习目标 81
6.1 傅立叶积分 82
6.1.1 主值意义下的广义积分 82
6.1.2 傅氏积分存在定理 83
6.2 傅立叶变换 84
6.2.1 傅立叶变换的概念 84
6.2.2 傅氏变换的物理意义—频谱 87
6.3 δ函数及其傅立叶变换 89
6.3.1 函数的定义 90
6.3.2 函数的性质 92
6.3.3 函数的傅立叶变换 93
6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 94
6.4 傅立叶变换的性质 96
6.4.1 线性性质 96
6.4.2 对称性质 97
6.4.3 相似性质 98
6.4.4 平移性质 98
6.4.5 微分性质 102
6.4.6 积分性质 103
6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 103
本章小结 105
习题六 107
自测题六 109
第7章 拉普拉斯变换 110
本章学习目标 110
7.1 拉普拉斯变换 110
7.1.1 拉普拉斯变换的概念 110
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 111
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 111
7.1.4 拉普拉斯变换的下限问题 113
7.1.5 周期函数的拉普拉斯变换 114
7.2 拉普拉斯变换的基本性质 115
7.2.1 线性性质 115
7.2.2 相似性质 116
7.2.3 平移性质 117
7.2.4 微分性质 120
7.2.5 积分性质 121
7.2.6 拉氏变换的卷积与卷积定理 123
7.3 拉普拉斯逆变换 124
7.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 125
7.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 127
7.4 拉普拉斯变换的应用 128
7.4.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 128
7.4.2 线性系统的传递函数 130
本章小结 132
习题七 133
自测题七 137
附录1 习题与自测题参考答案或提示 139
附录2 变换简表 150
参考文献 160

1. 机械制图 [许淑珍 于利民]
2. 微积分（经管类）导学篇（下册） [王海棠 曹海军 周玲丽]
3. 大学生创新创业基础 [主编 姜国权 姜福佳]
4. 农产品云仓模式研究—以北京农产品流通物流供应链重构为例 [武晓钊 王成林 王春娟 等著]
5. 信息技术（微课版） [王云　徐江鸿　李清霞　罗学锋　]
6. 管理基础与实务 [主编 王凤基 颜汉军]
7. 高等数学导学篇（下册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
8. 高等数学导学篇（上册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
9. 高等数学（下册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
10. 高等数学（上册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
11. 庭院风骨—树、灌、篱 [创意房主 著]
12. Python语言程序设计教程 [郭其标 房宜汕]
13. 微积分（经管类）教程篇（下册） [曹海军 王海棠 周玲丽]
14. 微积分（经管类）教程篇（上册） [曹海军 王海棠 周玲丽]
15. 微积分（经管类）导学篇（上册） [王海棠 曹海军 周玲丽]
16. 网站前端技术案例教程（HTML+CSS+JavaScript）（第二版） [黄华升]
17. 线性代数 [主编 史昱 陈凤欣]
18. 电力电子技术课程学习及实验指导 [主编 陈荣]
19. 成长对话：青春的榜样 [主编　施端银　黄武刚　应巨林]
20. 人工智能应用基础 [主编 杨缨 李佳]
21. 中华水文化（慕课版）（第二版） [毕雪燕 杨华轲 罗玲谊 等编著]
22. 电路与电子技术Ⅱ——电路分析基础 [主编 陈晓 金哲]
23. 飞机维修专业英语——飞机系统（第二版） [赵迎春]
24. 英语大爆炸：跟趣味情景剧学口语（微课版） [秦然　编著]
25. 机械工程制图任务跟踪训练 [主编 王瑞清 赵金考 周彦云 ]
26. 机械工程制图 [主编 覃国萍 刘百顺 禹晨]
27. 平面设计与制作项目化教程 [主编　李晨]
28. 后期影像剪辑技术 [主编　郭建伟]
29. 人工智能概论（第二版） [主编　任云晖　丁红　徐迎春 ]
30. 信息时代美育之道 [主编　刘宏宇　黎娅]